52 Зведення кф до канонічного вигляду

Канонічним виглядом квадратичної форми рангу називається представлення її алгебраїчною сумою квадратів:

. (42)

Коефіцієнти називаються канонічними коефіцієнтами. Рівність (42) можна переписати наступним чином:

, (43)

де - не всі ненульові (кількість ненульових коефіцієнтів дорівнює рангу форми).

Теорема. Будь-яку квадратичну форму ортогональним перетворенням можна звести до канонічного вигляду.

Нехай - ортогональна матриця, тобто , та складається з ортонормованих власних векторів, що відповідають власним значенням матриці квадратичної форми , тому

,

де - власні значення матриці . Тоді

,

де . Отже, квадратична форма за допомогою ортогонального перетворення зведена до канонічного вигляду.

Зауважимо, що звести квадратичну форму до канонічного вигляду можна і так званим методом Лагранжа або методом виділення повних квадратів.

Нехай квадратична форма зведена до канонічного вигляду (42), причому відмінні від нуля канонічні коефіцієнти занумеровані так, що є додатними, а - від’ємними. За допомогою невиродженого лінійного перетворення змінних

Квадратичну форму можна звести до вигляду:

, (44)

який називається нормальним виглядом квадратичної форми.

Теорема (закон інерції квадратичних форм). Кількість доданків з додатними (від’ємними) коефіцієнтами в нормальному вигляді квадратичної форми не залежить від способу зведення форми до цього вигляду.

53) Поняття множини. Рівність множин.

Множина- первинне визначення математичного аналізу. Поняття множини вважається первісним і інтуїтивним. Елемент відноситься до певної множини за встановленим правилом або характерної ознакою.

А={а}, де А скл з множ. з 1 елемента а малого. Множину можна задавати за допомогою переліку її елементів А={а ,в, с...}

є А- елемент а належить множині А. - а не належить множині А

Елементи множини А, що мають власн. Р

А₁={а єА (а має вл. Р)}

А₁ ={а: (а є А) (а має вл. Р)}

_{Оз: мн-на В наз. підмножиною мн-ни А, якщо всі елементи В належать мн-ні А.} В підмножина А.

- універсальна множина, яка включає в себе всі інші множини.

Порожньою множиною наз. множина, що не містить жодного елемента.

Множина А і В наз рівними, якщо вони містять одні й ті самі елементи

А =В (А В) (В А)

Позначення

Множина натуральних чисел : N= {1,2,3…}

Z₀- множина не „-” цілих чисел Z₀- {0,1,2,3…}

Z- {0, 1, 2…} – цілих чисел

Q= { } Q- раціональні

І- нескінченні неперіодичні дроби.

R – Q + I

С- комплексні

На множину натуральних чисел вводиться операція „+”і виконуються такі влас. (аксіоми):

• якщо n є N ( n +1) є N

• 1 є М (деяка множина), (n є М ( n +1) є М ) N М- аксіома індукції

54) Операції над множинами.

Перерізом множин А і В наз. мн-на, що скл із спільних ел множин А і В

Для ілюстрації операції викор. круги Ейлера або діаграми Вєна.

Об’єднана множина А і В, наз. множина яка містить тільки ті елементи, які належать А або належать В

Різницею множини А і В наз. множина, яка містить тільки ті елементи, що належать А і не належать В .

; -симетрична різниця

Доповненням множ. А наз. множ. , яка містить тільки ті елементи, що не належать А.

Поняття перерізу і об’єднання мн-н можна поширити на декілька мн-н

Властивості операцій над множинами:

1) - ця властивість означає, що відносно операц. Перерізу та об’єднання є замкненою.-комутативніс

2) -асоціативність3) -дистрибутивн.

4) 5)

6) ) 8)

7)

9) Правило деМоргана

Порядкованою парою елементів а є А, в є В, наз. послідовність (а, в), якщо чітко вказано номер компоненти.Декартовим добутком множ. А і В наз. множина всіх впорядкованих пар елементів множин А і В.