50.Ортогональні перетворення.
Лінійне
перетворення
наз ортогональним,
якщо матриця
є ортогональною. Властивість: для
будь-яких двох векторів їх скалярний
добуток дорівнює скалярному добутку
їх образів при цьому перетворенні.
Дійсно,
нехай
,
тоді
.
При
ортогонал перетворенні довжини векторів
та кути між ними не змінюються, бо
і
.
Види:Нехай
на площині
кожний радіус-вектор
замінюється радіус-вектором
,
який одержаний в результаті обертання
на кут
проти годинникової стрілки (рис. 2).
Рис. 2.
Визначимо
матрицю
перетворення
обертання
в натуральному базисі, який складається
з ортонормованих векторів
.
У результаті вказаного перетворення
базисний вектор
замінюється вектором
,
а базисний вектор
- вектором
.
Тоді матриця перетворення обертання
має вигляд:
.
(39)
Перетворенню відбиття відповідає матриця відбиття
,
(40)
де
- нормований вектор
.
Зауважимо, що матриця
є симетричною, бо
.
Покажемо, що матриця
є ортогональною. Дійсно, оскільки
,
то
.
З’ясуємо
геометричний зміст відбиття в просторі
.
Здійснимо відбиття відносно деякої
площини
,
що проходить через початок координат.
Нехай
- одиничний вектор, який ортогональний
до будь-якого вектора площини. Візьмемо
довільний вектор
і розкладемо його на дві складові:
паралельну до
,
тобто
;
перпендикулярну до
,
тобто проекцію на площину
,
яка визначається рівністю
.
(41)
При
відбитті вектора
відносно площини
його перпендикулярна складова
залишається незмінною, а паралельна
складова
змінює знак (рис. 3), тому відбитий вектор
визначається як
.
Рис. 3.
Отже, ми маємо справу з перетворенням відбиття.
Дві
множини
і
евклідова простору називаються
ортогональними
,
якщо кожний вектор з
ортогональний до кожного вектора з
.
51 Означення квадратичних форм(кф). Основні ознаки додатної визначеності.
Квадратичною
формою
від змінних
називається многочлен відносно цих
змінних, який вміщує тільки їх другі
степені:
,
де
,
- симетрична матриця
,
яка наз матрицею
квадратичної форми.
Квадратична
форма називається додатно
(невід’ємно,
від’ємно,
недодатно) визначеною,
якщо для будь-якого ненульового вектора
виконується нерівність
.
Додатно (невід’ємно, від’ємно, недодатно) визначеною називається симетрична матриця, яка відповідає додатно () визначеній квадратичній формі.
Очевидно, що від’ємно (недодатно) визначені квадратичні форми отримуються з додатно визначених зміною знаку.
Найуживані ознаки додатної визначеності матриці.
Теорема.
Для того, щоб симетрична матриця
порядку
буда додатно визначеною, необхідно і
достатньо, щоб виконувалась одна з умов:
1.
для всіх ненульових векторів
;
2.всі власні значення матриці
додатні; 3.всі провідні (кутові) мінори
матриці
додатні (критерій Сільвестра); 4.всі
провідні елементи (без переставлень
рядків) додатні; 5.існує невироджена
матриця
така, що
.
Зауважимо, що ознаки невід’ємної визначеності матриці відрізняються від сформульованих заміною знаків додатності на невід’ємність та зняттям обмежень на переставлення рядків і невиродженість матриці .
Ознаку від’ємної визначеності матриці дає критерій Сільвестра: для того, щоб симетрична матриця порядку буда від’ємно визначеною, необхідно і достатньо, щоб знаки провідних мінорів чергувалися, починаючи з від’ємного.