48. Означ евклід прост. Ортог вектори. Ортогоналізація Гр-Шмі.

Векторний простір називається евклідовим простором, якщо для векторів цього простору виконані такі вимоги:

• кожній парі векторів ставиться у відповідність дійсне число , яке називається скалярним добутком і ;

• скалярний добуток задовольняє аксіомам ( - вектори, - число):

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Зауважимо, що арифметичний простір можна зробити евклідовим, якщо скалярний добуток векторів і визначити як величину .

Довжиною вектора евклідова простору називається величина . Якщо - число, то .

Вектор, довжина якого дорівнює одиниці, називається нормованим. Якщо , то вектор є нормованим і позначається через .

Для будь-яких векторів виконується нерівність Коші-Буняковського: , причому рівність має місце тоді й тільки тоді, коли вектори і лінійно залежні.

Кутом між векторами називається кут , що визначається рівністю: .

Вектори називаються ортогональними , якщо їх скалярний добуток =0.

Система векторів називається ортогональною, якщо або вона складається з одного вектора, або її вектори попарно ортогональні.

Теорема. Ортогональна система ненульових векторів є лінійно незалежною.

Дійсно, припустимо, що вектори ненульові і попарно ортогональні. Щоб довести їх лінійну незалежність, треба показати, що рівність можлива лише при виконанні умов .

Помножимо справа обидві частини рівності по черзі на вектори , одержимо, що . Оскільки і при , то . Отже, вектори лінійно незалежні.

Теорема(ортогоналізації Грама-Шмідта). Нехай вектори лінійно незалежні. Тоді можна побудувати ортогональну систему ненульових векторів , які визначаються за формулами:

(35)

Дійсно, за перший вектор візьмемо і припустимо за методом індукції, що ненульові вектори вже побудовані. Шукаємо вектор у вигляді: .

Виберемо коефіцієнти таким чином, щоб при . Помножимо справа рівність на , тоді , звідки Очевидно, що , бо у противному випадку це означало би лінійну залежність векторів .

Основні співвідношення векторів:

1)Нерівність трикутника |a+b|<=|a|+|b|

2) Теорема cos: |a-b|²=|a|²+|b|²-2|a||b|cosφ

3) Теорема Піфагора: |a+b|²=|a|²+|b|²(a┴b)

49.Ортонормовані базиси і ортогональні матриці.

Базис евклідова простору наз ортогональним, якщо вектори попарно ортогональні. Якщо вектори базису нормовані, то базис наз ортонормованим. для ортонормованог базису маємо:

(36)

де - символ Кронекера,

Найпрост ортонормо базисо - натуральний базис.

Нехай , - ортонормований базис та тоді на підставі аксіом скалярного добутку і рівності (36), маємо:

Отже, в ортонормов базисі скалярний добут векторів = сумі добутків відповідних координат цих векторів, тб

Координати вектора відносно ортонормованого базису . Очевидно, що

.

Це означає, що координати довільного вектора відносно ортонормован базису = скалярним добуткам цього вектора на відповідні базисні вектори.

Властивості матриці перетворення координат при переході від «старого» ортонормованого базису до «нового» ортонормованого базису. З формули (36) випливає, що

Останні співвідношення можна подати у матричному вигляді:

. (38)

Матриця називається ортогональною, якщо . Зауважимо, що , тому та . Отже, матриця перетворення координат при переході від ортонорм базису до іншого ортонорм базису є ортогональною матрицею.

Т: Матриця є ортогональною тоді й тіль тоді, коли її стовпці (рядки) утворюють ортонор систму векторів.

Твердження теореми випливає з рівностей (для стовпців), (для рядків).

Т. Добуток двох ортогональних матриць є ортогональною матрицею; модуль визначника ортогональної матриці дорівнює одиниці.

Нехай - ортогональні матриці, тоді в силу визначення ортогональності, маємо: . Отже, матриця є ортогональною.

З властивостей визначників та рівності випливає, що , тобто .

Матриця порядку називається симетричною, якщо для її елементів мають місце рівності: .

Теорема. Для того, щоб симетрична матриця була представлена у вигляді

,

де - ортогональна і - діагональна матриці, необхідно і достатньо, щоб стовпці матриці були ортонормованими власними векторами, відповідними до власних значень – діагональних елементів матриці .