47.Характеристичний многочл, власні числа і власні вектори лп
Нехай в -вимірному векторному просторі задано ЛП . Ненульовий вектор наз власним вектором ЛП , якщо знайдеться таке число , що виконується рівність
;
(29)
-власне значенням ЛП , що відповідає власному.
Якщо лінійне перетворення задано своєю матрицею у деякому базисі , то умову (29) можна подати у вигляді:
.
(30)
Якщо
,
то система (30) має ненульові розв’язки
в тому випадку, коли матриця
є виродженою, тобто
.
(31)
Це рівняння називається характеристичним рівнянням матриці . Можна записати так:
.
(32)
Права частина рівності (32) називається характеристичним многочленом матриці , а його корені – характеристичними коренями.
Задача
про власні значення і власні вектори
розв’язується
за схемою: 1)знаходимо власні значення
матриці
як корені характеристичного рівняння
(31); 2)підставляємо кожне з власних значень
у систему рівнянь
.
Ранг матриці одержаної системи буде
деяким числом
.
Ця система лінійних рівнянь буде мати
лінійно незалежних розв’язків
- лінійно незалежних власних векторів.
основні властивості:
Слідом
матриці
-го
порядку називається сума діагональних
елементів матриці, тобто
.
В1. Добуток власних значень матриці = її визначнику,сума – сліду.
В2.
Нехай
і
- власний вектор і відповідне до нього
власне значення матриці
,
- деяке число. Тоді
є власним вектором матриці
,
відповідним до власного значення
.
В 3.
є власним вектором матри
,
відповідним до власного значення
,
причому
є цілим.
В4. Власні вектори, відповідні до різних власних значень матриці, є лінійно незалежними.
В 5. Подібні матриці мають однакові характеристичні многочлени.
Дійсно, в силу визначення подібності матриць маємо: , тоді
Наслідок. Характеристичний многочлен лінійного перетворення не залежить від вибору базису.
Теорема. Матриця має просту структуру тоді й тільки тоді, коли вона подібна до діагональної матриці.
Необхідність:Нехай
матриця
має лінійно незалежні власні вектори
,
відповідні до власних значень
.
(33)
Нехай
і
,
тоді рівність (33) можна записати у вигляді
матричної рівності
,
звідки
.
(34)
Отже,
матриці
і
подібні.
Достатність.
Припустимо, що для діагональної матриці
і невиродженої матриці
виконується рівність (34). Тоді
і
,
де через
і
позначені стовпці матриці
і діагональні елементи
.
Отже, стовпці можна вважати лінійно незалежними власними векторами матриці з власними значеннями , тобто матриця має просту структуру.
Представлення матриці у вигляді (34) називається діагоналізацією за допомогою перетворення подібності, а матрицю називають діагоналізуючою.