44 Неоднорідні сис-и лінійних рівнянь. Теорема Кронекера-Капеллі

Якщо Ах=b , , то система називається неоднорідною.

Теорема Кронекера-Капеллі

Для того, щоб система була сумісною, необхідно і достатньо, щоб ранг матриці системи дорівнював рангу розширеної матриці системи, тобто . Доведення: r(A)=r(A_b) <=> b – лінійна комбінація стовбців А, тобто коефіцієнт цієї лінійної комбінації і є розв. с-ми .

Теорема Загальний розв’язок неоднорідної системи дорівнює сумі загального розв’язку відповідної однорідної системи і окремого розв’язку неоднорідної системи. Дов: Нехай - окремий розв’язок неоднорідної системи , - загальний розв’язок однорідної системи , то . Отже, є загальним розв’язком неоднорідної системи.

Теорема: Всі розв’язки неодно-ної сис-ми утворюють в афінному просторі площину вимірності .

Рівняння цієї площини , де - окремий розв’язок неоднорідної системи, - фундаментальна система розв’язків відповідної однорідної системи, а числа є довільними.

Теорема: В афінному просторі і в будь-яких афінних координатах усяка -вимірна площина може бути задана системою з матрицею рангу .

Наслідок: Гіперплощина визначається одним лінійним рівнянням . Кожне з рівнянь системи з матрицею рангу можна розглядати як рівняння деякої гіперплощини і кожну -вимірну площину можна розглядати як перетин гіперплощин.

45.Лп та їх матриці. Дії над лп. Обернене лп.

Лінійним перетворенням у векторному просторі називається правило, за яким кожному вектору ставиться у відповідність вектор так, що виконуються наступні умови:

• для будь-яких векторів виконується ;

• для будь-якого вектора та довільного числа виконується .

Лінійне перетворення наз тотожнім, якщо воно перетворює вектор в самого себе, тобто .

Сумою лінійних перетворень і наз л п , що визначається рівністю .

Добутком лінійного перетворення на число наз л п , що визначається рівністю .

Добутком л п та л п наз л п , що визначається рівністю .

Зауважимо, що у загальному випадку .

Операція множення лінійних перетворень має такі властивості:

;

;

;

.

Лінійне перетворення називається оберненим по відношенню до лінійного перетворення , якщо виконуються рівності: .

46.Матриці лп. Подібні матриці.

Нехай у векторному просторі , базис якого , задано лінійне перетворення . Застосуємо це перетворення до базисних векторів. Одержимо - вектори простору . Розкладемо їх за базисом:

, (25)

Матриця називається матрицею лінійного перетворення в базисі .

Позначимо через і матриці-стовпці координат векторів і у базисі простору . Припустимо, що , тоді за означенням лінійного перетворення маємо:

звідки

. (26)

Отже,

, (27)

тобто будь-якому лінійному перетворенню у вибраному базисі відповідає квадратна матриця , причому -й стовпець матриці складається з координат вектора (образу базисного вектора при перетворенні ) і навпаки.

Теорема. Якщо у векторному просторі задано базис та деяку невироджену матрицю -го порядку, то існує єдине лінійне перетворення, матриця якого дорівнює у базисі .

Розглянемо матриці лінійного перетворення в різних базисах.

Нехай в просторі задано «старий» базис і «новий» базис . Запишемо лінійне перетворення у цих базисах: ; , де і - матриці-стовпці, складені з координат векторів і у базисі ; а - матриця лінійного перетворення в цьому базисі. На підставі формули перетворення координат при зміні базису маємо: . Тоді , отже

. (28)

Матриці і називаються подібними і перехід від до називається перетворенням подібності, якщо має місце формула (28), де - невироджена матриця.

Отже, дві матриці, відповідні до одного і того ж лінійного перетворення в різних базисах подібні між собою, причому матриця є матрицею перетворення координат при переході від «старого» базису до «нового».