42.Ранг матриці.

Нехай задана -матриця . Будемо розглядати стовпці як вектори арифметичного простору , а рядки – як вектори простору . Можна вивчати лінійну залежність і незалежність стовпців (рядків) матриці .

Мінором -го порядку мат наз визначник -го порядку з елем, розміщеними на перетині будь-яких стовпців та будь-яких рядків матриці .

Рангом матриці називається максимальний порядок відмінних від нуля мінорів матриці. Ранг матриці позначається через . Ранг нульової матриці дорівнює нулю, крім того, ранг задовольняє нерівностям: .

Будь-який відмінний від нуля мінор порядку наз базисним мінором, а стовпці і рядки - базисними. Зауважимо, що у матриці базисний мінор може бути не один, крім того, будь-яка не 0 матриця має принаймні один базисний мінор.

Т: Базисні стовпці (рядки) матриці лінійно незалежні і будь-який стовпець (рядок) є лінійною комбінацією базисних стовпців (рядків).

Висновки: 1)вимірність підпростору, породженого деякою системою векторів = рангу матриці, складеної з координат цих векторів відносно будь-якого базису; 2)max кількість лінійно незалежних стовпців (рядків) матриці дорівнює рангу матриці.

Т:. Для того, щоб визначник матриці порядку не =0, необ і дост, щоб його стовпці (рядки) були лінійно незалежними.

Ефективним заходом при визначенні рангу ненульової -матриці є зведення її за допомогою елементарних перетворень з рядками до ступінчастої матриці, яка має таку будову: 1)ненульові рядки розміщені вище нульових; 2)кожний провідний елемент, який є першим ненульовим елементом у своєму рядку дорівнює одиниці; 3)кожний провідний елемент розміщений праворуч від провідного елемента попереднього рядка.

Якщо - ступінчаста матриця, то

, (18)

де - добуток елементарних матриць, які відповідають елементарним перетворенням рядків матриці . Елементарні перетворення не змінюють ранг матриці, тому . Зауважимо, що ранг матриці дорівнює кількості її ненульових рядків.

Теорема. Для -матриці рангу існують такі невироджені матриці і порядків і відповідно, що

, (19)

де .

Теорема. Ранг добутку двох матриць не є більшим ніж ранг кожного множника, тобто

. (20)

Розглянемо матрицю . Очевидно, що . Але стовпці матриці є лінійними комбінаціями стовпців матриці , тому . Отже, .

Наслідок. Множення будь-якої матриці на невироджену матрицю не змінює її ранг.

Нехай матриця невироджена. На підставі (20) маємо: , але , тому .

43. Підпрос, утворений розв’язками однорідної с л р. Фундаментальна ср.

Розглянемо систему лінійних алгебраїчних рівнянь відносно невідомих :

(21)

Позначимо через , матрицю системи, - вектор невідомих, - вектор вільних членів. Тоді система (21) набуде вигляду . Введемо розширену матрицю системи , яка отримується з матриці системи приєднанням до неї стовпця вільних членів.

Упорядкована сукупність значень невідомих , яка задовольняє кожному з рівнянь (21), називається розв’язком системи. Якщо система має принаймні один розв’язок, то вона називається сумісною. У противному випадку вона називається несумісною. Якщо система сумісна, то кожний її розв’язок називається окремим. Сукупність всіх окремих розв’язків називається загальним розв’язком системи.

Однорідною називається така система лінійних рівнянь, в якій всі праві частини дорівнюють нулю, тобто . Якщо , то система називається неоднорідною.

Зауважимо, що однорідна система завжди сумісна, бо вона має розв’язок . Цей розв’язок називається тривіальним (нульовим) розв’язком системи .

Теорема. Якщо є -матрицею рангу , то множина всіх розв’язків системи утворює -вимірний підпростір простору .

Очевидно, що коли і є розв’язками системи , то теж є розв’язком цієї системи, тобто множина розв’язків утворює підпростір простору . Базис цього підпростору називається фундаментальною системою розв’язків.