41.Афінний простір...

Множина називається -вимірним афінним простором, а її елементи – точками цього простору, якщо кожній упорядкованій парі елементів зіставляється єдиний вектор з (який позначається через ) у відповідності до аксіом: -для кожної точки і кожного вектора існує єдина точка така, що ; -для будь-яких трьох точок виконується рівність .

Зауважимо, що векторний простір можна розглядати як афінний простір . Для цього достатньо вектори назвати точками і кожній парі векторів зіставити вектор .

З іншого боку, афінний простір можна розглядати як векторний. Для цього достатньо в просторі вибрати яку-небудь точку і довільній точці зіставити вектор , який називають радіусом-вектором точки . Множина радіус-векторів усіх точок простору утворює простір .

Введемо поняття афінних координат точок . Для цього виберемо в деяку точку , яку називають початком координат, і в просторі візьмемо деякий базис . Початок координат разом з базисом утворюють афінну систему координат в афінному просторі.

Розклавши радіус-вектор довільної точки за базисом , одержимо:

Коефіцієнти цього розкладу називаються афінними координатами точки відносно вибраної афінної системи координат. Ці координати визначаються однозначно, оскільки єдиним є розклад вектора за базисом .

Очевидно, що

де - афінні координати точки .

Якщо в афінному просторі зафіксована деяка точка і у векторному просторі вибраний -вимірний підпростір , то множина всіх точок , для яких , називається -вимірною площиною, що проходить через точку в напрямі підпростору . Точки і називаються відповідно початковою і поточною точками площини, а - напрямним підпростором цієї площини.

При площина складається лише з точки (нульвимірна площина). Одновимірна площина називається прямою лінією. Площина вимірності називається гіперплощиною, а при площина збігається з усім простором .

Нехай в просторі вибрана деяка афінна система координат з початком і базисом . Розглянемо площину, що проходить через точку в напрямі підпростору . Якщо породжується лінійно незалежними векторами , то радіус-вектор поточної точки площини дорівнює (рис. 1)