39. Вимірн і базис вект пр. Перет коорд при пер до нового базису.

Векторний простір наз -вимірним, якщо в ньому існує лінійно незалежних векторів і нема більшої кіл-ті лінійно незалежних векторів. Вимірність простору позначається через .

Сукупність лінійно незалежних векторів називається базисом векторного простору, якщо будь-який вектор простору є лінійною комбінацією цих векторів.

Теорема. Будь-яка система лінійно незалежних векторів -вимірного векторного простору є базисом цього простору

Розкладом -вимірного вектора за базисом називається лінійна комбінація , а числа називаються координатами вектора відносно цього базису.

Теорема. Координати вектора відносно деякого базису визначаються однозначно.

Якщо - два різних розклади за базисом , то . Оскільки вектори лінійно незалежні, то це можливо лише коли . Звідси випливають рівності , що доводить однозначність розкладу.

З’ясуємо, як перетворюються координати вектора при зміні базису. Нехай та є базисами -вимірного векторного простору і визначені координати векторів «нового» базису відносно «старого» базису , тобто

, (4)

або

, (5)

де є матрицею, стовпці якої утворені з координат векторів «нового» базису в «старому» базисі. Матриця називається матрицею перетворення координат при зміні базису (матрицею переходу від «старого» базису до «нового»).

Нехай і є матрицями-стовпцями координат вектора у «старому» та «новому» базисі відповідно, тоді

. (6)

З (4) і (6) випливає: , отже,

, (7)

або

. (8)

Покажемо, що матриця є невиродженою, тобто .

Дійсно, якщо вважати, що , то з формули (8) одержимо систему рівнянь , у якої нульовий розв’язок повинен бути єдиним. У противному разі рівність , яка випливає з формули (6), буде свідчити про лінійну залежність векторів . Отже, матриця є невиродженою.

З формули (8) одержимо вираз координат вектора в «новому» базисі через координати цього вектора у «старому» базисі:

. (9)

40.Підпростори векторного простору

Непорожня множина векторів з векторного простору називається його підпростором, якщо вона разом з кожною парою векторів вміщує всі їхні лінійні комбінації .

Теорема. Кожний підпростір є векторним простором.

З означення підпростору випливає, що досить перевірити ті аксіоми векторного простору, які стосуються нульового та протилежного векторів, бо виконання інших аксіом є очевидним. Якщо взяти , то , тобто нульовий вектор належить до . Нехай . Тоді , тому разом з вектором в є протилежний до нього вектор. Отже, множина є простором.

Нульовий підпростір і весь підпростір є двома крайніми випадками підпросторів, ці два підпростори називаються тривіальними, і інші – нетривіальними.

Теорема. Будь-який базис підпростору можна доповнити до базису всього векторного простору.

Дійсно, якщо , то знайдеться такий вектор , що вектори будуть л н, бо в противному випадку простір був би -вимірним. Якщо , то міркування можна повторити. Так можна продовжувати доти, поки кількість векторів у системі не досягне . Побудована система буде базисом простору .

Сумою підпросторів векторного простору називається множина всіх векторів вигляду , де .

Перерізом підпросторів векторного простору називається множина всіх векторів, які одночасно належать як до , так і до .

Сума підпросторів і їх переріз є непорожніми множинами, оскільки їм належить нульовий вектор простору . Покажемо, що ці множини є підпросторами. Дійсно, якщо , то , де . Розглянемо лінійну комбінацію . Оскільки і , то . Тому є підпростором.

Теорема. Для будь-яких підпросторів і векторного простору виконується формула Грассмана

. (10)

Якщо - нульовий підпростір, то сума підпросторів і називається прямою сумою і позначається через . З (10) випливає, що

, (11)

тобто вимірність прямої суми підпросторів дорівнює сумі вимірностей доданків і об’єднання будь-яких базисів доданків утворює базис прямої суми.

Теорема. Кожний вектор прямої суми можна розкласти єдиним способом у суму , де .

Припустимо, що є два представлення: . Звідси випливає, що . Оскільки та єдиним спільним вектором підпросторів , є нульовий вектор, то , тобто .