36 Основна теорема алгебри

Будь-який мнч з б-якими числовими коеф, степінь якого не менше одиниці має хоча б один корінь—у заг випадку комплексний.

Наслідок1: б-який мнч n-го степеня розкладається на n лінійних множників та множник рівний старшому коеф

f(x)=а₀(x- )(x- )*…*(x- )

Наслідок2 мнч n-го степеня не може мати більше n коренів

Наслідок3 будь-який многч степеня n має рівно n коренів, якщо кожен корінь взятий стільки разів, скільки його кратність, тобто

f(x)=a0 (x- 1) (x- 2) *…*(x- n) ki є N.k1+k2+…+ks=n;

Наслідок 4Якщо мнч тотожно рівний нулю, то всі його коеф рівні нулю

Візьмемо будь-яке α_n+1 не=α_i i=1,n(число, що не=кореням), тоді f(α_n+1)=0→a₀=0→всі коеф=0

Насл 5 Якщо f(x) g(x)то коеф f(x) відповід рівні коеф g(x) ai=bi, i= f(x)-g(x) 0 a0-b0, a0=b0; і тд

Розглянемо f(x) з дійсними коеф.

Теорема Якщо мнч f(x) з дійсними коеф має корінь (a+ib), то він має корінь (a-ib)

f(a+ib)=0; f(a+ib)=M+iN, N,M=0; f(a-ib)=M-iN=0 ==> f(a-ib)=0;

Отже в розкладі f(x) на множники зустрічаються такі множники (x-a-ib), Розглянемо )

(x-a-ib)(x-a+ib)=(x-a)(x-a)+b*b=x*x+px+q; D<0;

Теорема Будь-який мнч з дійсними коеф однознач представл у вигляді доб старшого коеф , декількох лін множн (x-альфа), що відп парам комплексно спряжених коренів

f(x)=a0 (x- 1) (x- 2) *…*(x- n) (x*x+p1x+q1) (x*x+p2x+q2) *…*(x*x+prx+qr) )

де α_i, p_i, q_i, a₀ єR

k_i, L_j єN

k1+k2+…+ks+2l1+2l2+…+2lr=n; (x*x+px+q)—незвідні множники

37. Раціональні дроби

Дробово-раціональною ф-кцією (рац дробом) наз частка двох мнч

g(x) не дор нулю

Якщо степінь знаменника більше(менше) ніж степінь чисельника, то дріб—правильний(непр)

Дріб наз нескоротним, якщо чис і знам –взаємнопрості

Теорема Б-який рац дріб можна однозначно представити у вигляді суми мнч і правильного дробу(наслідок ділення з остачею)

f(x)=g(x)*q(x)+r(x);

=q(x)+ степіні ер менше за степінь дж-за властивістю дільника та остачі

Правильний дріб наз елементарним, якщо знаменник—степінь незвідного мнч

Тобто, це дроби виду

або

Теорема Б-який рац прав дріб можна однозначно представити у вигляді суми елементарних дробів

Доведення: метод не визнач коефіцієнтів

38.Аксіоматичне визначення векторного простору

Множина R-векторний простір, якщо для елем цієї множини виконуються вимоги:

1)кожній парі відповідає вектор , який є сумою ;

2)кожній парі (α-число) відповід вектор , який наз добутоком вектора і числа α;

3)операції додавання векторів і множення вектора на число задовольняє аксіоми( -вектори, α, β-числа):

1)

2)

3)Існує вектор, що

4)для кожного існує (протилежний) і а+(-а)=0

5)1∙а=а

6)α(βа)=(αβ)а

7)(α+β)а=αа+βа

8)α(а+b)=αa+αb

Різниця векторів a і b назив вектор a-b що =сумі векторів a і (-b), тобто a-b=a+(-b)

Нульовим вектором прост R_n є вектор 0=(0,0,…,0)^т, а протилежним до вектора а=(а₁,а2,…,а_n)^т є вектор –а=(-а₁,-а₂,…,-а_n)^т

Лін комб векторів а₁,…,а_n – вектор де α₁,…,α_n – числа.

ЛЗ вектори: якщо існують α1,…,αn одночасно не=0 і =0(1)

ЛН: якщо (1) можливо лише коли α1=α2=…=αен=0

Теорема: Щоб вектори а1,а2,…,аен були ЛЗ необх і достатньо щоб принаймні 1 був лін комб інших.

Два ЛЗ вектори – колінеарні.