2. Способы построения фильтров.

Существует много способов построения фильтра с заданной передаточной функцией n-ого порядка. Один из способов заключается в том, чтобы представить передаточную функцию в виде произведения сомножителей Н₁, Н₂, Н₃, … Н_М и создать схемы или звенья, или каскады N₁, N₂, … N_M соответствующие каждому сомножителю. Наконец, эти звенья соединяются между собой каскадно, (выход первого является входом второго и т.д.). Если эти звенья не влияют друг на друга и не изменяют собственные передаточные функции, то общая схема обладает требуемой передаточной функцией n-ого порядка.

Для фильтров первого порядка передаточная функция представляется в виде:

, (4)

где С – постоянное число; P(s) – полином первой или нулевой степени. Для фильтров второго порядка передаточная функция

, (5)

где В и С – постоянные числа; P(s) – полином второй или меньшей степени.

Для четного порядка n>2 обычная каскадная схема содержит n/2 звеньев второго порядка, каждое с передаточной функцией типа (5). Если же порядок n>2 является нечетным, то схема содержит (n-1)/2 звеньев второго порядка и одно звено первого порядка с передаточной функцией (4).

Простейшие (первого порядка) ФВЧ, ФНЧ, ПФ и их ЛАЧХ приведены на рисунке 7.16.

В этих фильтрах конденсатор, определяющий частотную характеристику, включен в цепь ООС.

Для ФВЧ (рисунок 7.16а) коэффициент передачи равен:

где τ₁=C₁R₁.

Частоту сопряжения асимптот ω₁ находят из условия ω₁τ₁=1, откуда

f₁ = 1/2πτ₁.

Для ФНЧ (рисунок 7.16б) имеем:

f₂ = 1/2πτ₂.

где τ₂=C₂R₂.

В ПФ (рисунок 7.16в) присутствуют элементы ФВЧ и ФНЧ.

2) IMG0003

БИЛЕТ №6

1) Эквивале́нтная схе́ма (схема замещения, эквивалентная схема замещения) — электрическая схема, в которой все реальные элементы заменены максимально близкими по функциональности цепями из идеальных элементов.

Необходимость эквивалентных схем

Одной из основных задач электроники является расчет электрических схем, то есть получение детальной количественной информации о процессах, происходящих в этой схеме. Однако рассчитать произвольную схему, состоящую из реальных электронных компонент, практически невозможно. Мешает расчету то обстоятельство, что попросту не существует методик математического описания поведения реальных электронных компонент (например, транзистора) как единого целого. Имеются значения отдельных параметров и экспериментально снятые зависимости, но связать их в единую точную формулу, полностью описывающую поведение компоненты, в большинстве случаев не представляется возможным.

С другой стороны, исключительно простым математическим аппаратом описываются идеализированные базовые элементы электронных схем (например, идеальный резистор). Однако они не существуют в реальном мире. Так, любой резистор имеет множество паразитных параметров: индуктивность, емкость, температурные зависимости и т.п.

Введение понятия эквивалентная схема позволяет «связать» мир реальных компонент и мир их идеальных приближений. Эквивалентная схема представляет собой цепь только из идеальных компонент, которая функционирует примерно также, как и исходная схема. В эквивалентной схеме могут быть отражены, при необходимости, различные паразитные эффекты: утечки, внутренние сопротивления и т.д. Эквивалентная схема может составляться как для одного элемента, так и для сложной цепи.

Электронный тракт описываете: набором конструктивных параметров, которыми являются параметры усилительных и преобразующих элементов.

Влияние обратной связи на параметры и характеристики усилительного тракта. При введении в усилительный тракт обратной связи его передаточные и другие свойства изменяются по сравнению с исходными. Эти изменения обусловлены двумя причинами. Первая причина – изменение конфигурации схемы из-за введения в схему цепи ОС, вторая – проявление действия самой ОС из-за создания условия прохождения сигнала с выхода на вход.

2) IMG0015, Хорвиц стр 184

БИЛеТ №7

1) Линейные искажения не нарушают амплитудных соотношений в усиливаемом сигнале. На рис. 4.1а. показаны амплитудные характеристики (то есть зависимости выходного напряжения от входного) идеальных усилителей с различными коэффициентами усиления. При наличии в усилителе линейных искажений сигнала, амплитудная характеристика не претерпевает никаких искажений. Тем не менее, линейные искажения, разумеется, искажают усиливаемый сигнал. Эти искажения связаны с неравномерностью амплитудно-частотной характеристики усилителя и нелинейности его фазо-частотной характеристики. В связи с этим, линейные искажения часто называют частотными. Главным признаком линейных искажений является то, что они не вызывают появления в спектре выходного сигнала новых составляющих. В результате влияния линейных искажений, могут лишь изменяться уровни его отдельных спектральных (частотных) составляющих.

Рис. 4.1 Передаточные характеристики и производимые ими искажения

Поскольку линейные искажения обычно вызывают нарушения амплитудно-частотной характеристики — как правило, их величина определяется именно способом исследования этой характеристики усилителя. Тем не менее, как уже было сказано выше, линейные искажения могут вызываться и нарушением линейности фазо-частотной характеристики усилителя, что проявляется в неодинаковости времени распространения различных частотных составляющих усиливаемого сигнала. Громкоговоритель с системой разделения спектра звукового сигнала и аналоговые магнитофоны хорошо демонстрируют это явление.

Неплохим способом выявления заметных линейных искажений в усилителе, является подача на его вход импульсов прямоугольной формы и наблюдение формы выходного сигнала при помощи осциллографа. Передний фронт сигнала прямоугольной формы очень чувствителен как к нарушениям равномерности амплитудно-частотной характеристики, так и к нарушениям линейности фазо-частотной характеристики. В случае заметных линейных искажений, форма прямоугольных импульсов на выходе усилителя будет существенно нарушена, что легко видно на экране осциллографа. Такой простой тест в какой-то степени является альтернативой необходимости исследования амплитудно-частотной и фазо-частотной характеристик усилителя.

При генерации импульсных сигналов различной формы необходимо формирование временных интервалов, задающих длительность импульсов и пауз, частоту повторения импульсов и т.п. Эта задача решается с помощью формирующих цепей содержащих реактивные элементы. Наиболее простыми и надежными являются RC-цепи. Как правило, они применяются в качестве разделительных, дифференцирующих или интегрирующих цепей.

Схема разделительной цепи приведена на рис. 16.1а. Временные диаграммы напряжений в схеме приведены на рис 16.1б. При анализе процесса формирования напряжения на выходе RC- цепи будем полагать, что внутреннее сопротивление источника входного напряжения равно нулю, а сопротивление нагрузки - бесконечно большое. Емкость С не пропускает на выход постоянную составляющую источника питания. Поэтому цепь названа разделительной.

Пусть в момент t=0 на вход цепи (зажимы 1 -1^') поступает прямоугольный импульс амплитудой U_m и длительностью _u. В начальный момент времени конденсатор С разряжен и ток в RC - цепи определяется только амплитудой импульса U_m и сопротивлением R. Поэтому на зажимах 2 - 2^' создается напряжение равное максимальному . По мере заряда конденсатора С ток в цепи, а значит и напряжение на выходе будет экспоненциально убывать:

, (16.1)

где _ц = R  C [с] - постоянная цепи.

К моменту окончания импульса (когда t = _u) выходное напряжение упадет до U_вых(_u), причем

. (16.2)

После окончания импульса напряжение на входе цепи U_вх= 0. Поэтому конденсатор С начинает разряжаться через источник U_вх и резистор R. Ток разряда создает на выходе цепи отрицательный перепад напряжения, причем:

Где

. (16.3)

Разделительная цепь должна передавать импульс от входа к выходу с возможно меньшими искажениями его формы. Искажение формы оценивают максимальным относительным снижением вершины выходного импульса.

.

Из выражения (16.3) следует, что  U тем меньше, чем больше U_вых(_u), а U_вых(_и) тем больше, чем меньше отношение _u/_ц (см рис.16.2). Если требуется чтобы максимальное относительное снижение вершины импульса не превышало 1%, то постоянная времени цепи _ц должна превышать длительность импульса _u не менее чем в 100 раз.

Схема дифференцирующей цепи такая же, как и схема разделительной цепи. Но дифференцирующая цепь предназначена для укорочения импульсов или для выделения их фронта и среза. Эта задача решается тем лучше, чем больше отношение _u/_ц. Реально оно находится в пределах от 10 до 100. Выходное напряжение представляет два биполярных импульса совпадающих по времени с фронтом и срезом входного импульса (рис. 16.1б). Амплитуда биполярных импульсов затухает экспоненциально в соответствии с (16.1). Длительность этих импульсов на уровне 0,05 U_m. _вых  3 _ц. Подбором _ц ее можно сделать сколь угодно малой.

Схема интегрирующей цепи приведена на рис. 16.2а. На рис. 16.2б приведены диаграммы напряжений на входе и выходе цепи. При поступлении на вход такой цепи (зажимы 1 - 1^') прямоугольного импульса напряжения выходной сигнал нарастает по экспоненте

. (16.4)

Время необходимое для нарастания выходного сигнала до уровня 0,9U_m, составляет 2,3 _ц, а до уровня 0,99 U_m - 4,6 _ц.

С рез убывает по экспоненциальному закону:

,

где

.

На начальном участке выходное напряжение изменяется по закону, близкому к линейному. Этот участок часто используется для линейного накопления напряжения сигнала. Поэтому рассматриваемая цепь получила название интегрирующей. Чтобы цепь работала как интегрирующая, отношение _u/_ц должно быть значительно меньше единицы.

Анализ частотных характеристик

Входом мы будем называть пару зажимов (полюсов), к которым подключается каждый из независимых источников, задающих внешнее воздействие на цепь. Зажимы, служащие для подключения нагрузки, т.е. ветви, ток или напряжение которой необходимо определить, назовем выходными.

Электрические колебания, создаваемые на входе цепи, называют входным сигналом или воздействием.

Сигнал на выходе цепи, воздействующий на нагрузку, называют реакцией цепи, откликом или выходным сигналом.

Для четырехполюсника все параметры могут быть разбиты на четыре группы:

1) входные параметры. По отношению к источнику сигнала четырехполюсник является двухполюсником, а потому имеет аналогичные ему параметры:

1. комплексное входное сопротивление;

2. комплексную входную проводимость.

2) передаточные параметры. Они характеризуют передачу сигналов через четырехполюсник со входа на выход, т.е. в прямом направлении:

1. комплексный коэффициент передачи напряжения;

2. комплексный коэффициент передачи тока;

3. комплексное сопротивление прямой передачи;

4. комплексная проводимость передачи или коэффициент передачи J в U.

3) выходные параметры:

1. комплексное выходное сопротивление;

2. комплексная выходная проводимость.

4) параметры обратной передачи. Они характеризуют передачу сигналов через четырехполюсник, с выхода на вход, т.е. в обратном направлении.

Если в цепи имеются реактивные элементы (в данном случае емкость), то из-за зависимости их реактивных сопротивлений от частоты воздействия становятся зависящими от частоты и параметры цепи. В общем случае комплексные функции и сопротивления являются комплексными функциями частоты воздействия и представляют собой совокупность частотных характеристик цепи.

Комплексной функцией входного сопротивления называют зависимость от частоты отношения комплексного входного напряжения к комплексному току

Так как комплексное входное сопротивление комплексное число, то можно представить в виде алгебраической формы:

,

где - частотная характеристика активного входного сопротивления;

-частотная характеристика реактивного входного сопротивления.

Комплексная функция входного сопротивления, часто называемая просто входной функцией, зависит от двух реальных частотных характеристик:

Модуль комплексной функции (длина вектора, изображающего комплексное число) называется частотной характеристикой полного входного сопротивления. Модуль комплексного сопротивления равен отношению амплитуд или действующих значений напряжений и тока на зажимах рассматриваемого участка цепи

Модуль комплексной функции показывает, как зависит от частоты гармонического воздействия полное входное сопротивление.

аргумент частотной характеристики полного входного сопротивления называется фазочастотной характеристикой полного входного сопротивления. Она показывает, как зависит от частоты разность фаз между входным напряжением и током:

Комплексной передаточной функцией напряжения называют зависимость от частоты отношения комплексного гармонического напряжения на выходе к комплексному напряжению на входе четырехполюсника:

Модуль этой функции называется амплитудно-частотной характеристикой.

Данная характеристика показывает зависимость от частоты отношения амплитуд выходного и входного гармонических колебаний.

Аргумент комплексной передаточной функции:

Называют фазочастотной характеристикой, она показывает, как зависит от частоты разность фаз выходного и входного напряжений четырехполюсника.

Частотные характеристики не зависят от амплитуд и начальных фаз воздействий и определяются только данными цепи: числом, свойствами, значениями, порядком соединения друг с другом ее элементов. Таким образом, частотные характеристики описывают собственно цепь.

При графическом изображении частотных характеристик обычно строят отдельные графики полного сопротивления, амплитудно-частотной и фазочастотной характеристик. Когда исследуемый диапазон частот широк, по оси частот используют логарифмический масштаб. Кроме отдельных графиков амплитудной и фазовой частотных характеристик иногда используют один график комплексной плоскости. При этом каждому значению функции соответствует точка на комплексной плоскости или, что то же самое, вектор, соединяющий начало координат с указанной точкой. С изменением ω конец указанного вектора описывает на комплексной плоскости некоторую кривую – годограф комплексной передаточной функции. Таким образом, годографом называют траекторию движения конца вектора искомого параметра в комплексной плоскости. Годограф можно строить в декартовых, а также в полярных координатах.

Годограф отражает информацию, содержащуюся в амплитудной и фазовой частотных характеристиках цепи, так как каждой точке годографа соответствует определенное комплексное число - комплексный коэффициент передачи при определенной частоте.

Резонансными или колебательными цепями называются электрические цепи, в которых могут возникать явления резонанса напряжений или токов. Резонанс представляет собой такой режим пассивной электрической цепи, содержащей индуктивности и емкости, при котором реактивное сопротивление и реактивная проводимость цепи равны нулю; соответственно равна нулю и реактивная мощность на выводах цепи. Частоты, при которых наблюдается явление резонанса, называется резонансными частотами. Полосу частот вблизи резонанса, на границах которой ток снижается до 0,707 максимального (резонансного) значения I₀, принято называть полосой пропускания резонансного контура. Чем выше добротность контура, тем уже его полоса пропускания и соответственно острее резонансная кривая. Острота резонансной кривой характеризует частотную избирательность колебательного контура, т.е. его способность пропускать или задерживать электрические колебания только определенной частоты - резонансной или близкой к ней.

На практике встречается необходимость выделения не только одной какой-либо частоты, но целой полосы частот. Такое разделение частот осуществляется с помощью электрических фильтров.

Электрический фильтр представляет собой пассивный четырехполюсник, пропускающий некоторую определенную полосу частот с малым затуханием; вне этой полосы частот затухание велико. Полоса частот, при которых затухание мало, называется полосой пропускания фильтра. Остальную область частот составляет полоса задерживания (или затухания) фильтра.

Электрические фильтры могут быть классифицированы различным образом.

Классификация по пропускаемым частотам. В зависимости от пропускаемого спектра частот фильтры разделяются на фильтры: а) нижних частот (низкочастотные); б) верхних частот (высокочастотные); в)полосовые; г)заграждающие (режекторные).

Классификация по схемам звеньев. Фильтры могут состоять из звеньев Г-,Т-, П-образных, мостовых и др. В зависимости от числа звеньев фильтр может быть однозвенным или многозвенным.

Классификация фильтров по характеристикам. В отличие от простейших фильтров типа k различают фильтры более высокого класса - производные фильтры типа m и др.

Классификация фильтров по типам элементов. Различают фильтры: а) реактивные; б) пьезоэлектрические; в) безындуктивные и др.

Анализ переходных характеристик

Электрический импульс — кратковременный всплеск электрического напряжения или силы тока в определённом, конечном временном промежутке. Различают видеоимпульсы — единичные колебания какой-либо формы и радиоимпульсы — всплески высокочастотных колебаний.

Формирование импульсов - это изменение параметров исходного сигнала с целью получения импульсов с заданными параметрами.

Генерирование импульсов - автономное преобразование энергии источника питания в энергию требуемой последовательности импульсов или единичных импульсов.

В установившемся режиме токи и напряжения всех ветвей электрической цепи изменяются по периодическому закону или в частном случае сохраняют неизменные значения. Всякое изменение как топологии цепи, так и параметров входящих в нее элементов нарушает периодический характер изменения токов и напряжений ветвей, т.е. приводит к тому, что режим работы становится неустановившимся. Любое скачкообразное изменение в цепи, нарушающее установившийся режим, называется коммутацией. Если внешнее воздействие на цепь и после коммутации имеет периодический характер, то с течением времени цепь перейдет в новый установившийся режим. Неустановившиеся процессы, которые имеют место в цепи при переходе от одного установившегося режима к другому, называется переходными. Переход реальной электрической цепи от одного установившегося режима к другому не может происходить мгновенно, скачком. Это объясняется тем, что каждому установившемуся состоянию соответствует определенное значение энергии, запасенной в электрическом и магнитном полях. Скачкообразный переход от одного установившегося режима к другому потребовал бы скачкообразного изменения запасенной энергии, что возможно, если источники энергии обладают бесконечно большой мощностью, т.е. отдаваемые ими токи или напряжения могут принимать бесконечно большие значения. В связи с тем, что реальный источник энергии может отдавать только конечную мощность, суммарная энергия, запасенная в цепи, может изменяться только плавно, т.е. представляет собой непрерывную функцию времени. Таким образом, возникновение переходных процессов при переходе электрической цепи от одного установившегося состояния к другому связано с тем, что энергия, запасенная реактивными элементами цепи, не может изменяться скачком, а изменяется только плавно, т.е. с конечной скоростью.

Законы коммутации:

1. в начальный момент времени после коммутации ток индуктивности сохраняет такое же значение, как и непосредственно перед коммутацией: , а затем плавно изменяется начиная с этого значения.

2. В начальный момент времени после коммутации напряжение на емкости сохраняет такое же значение, как и непосредственно перед коммутацией: , а затем плавно изменяется начиная с этого значения.

Переходной характеристикой цепи h(t) называют отношение отклика цепи y(t) (например, выходное напряжение U_y(t)) к величине X ступенчатого воздействия (например, входного напряжения ) при нулевых начальных условиях, т.е. ,

Существует ряд аналитических методов расчета переходных характеристик: классический, операторный, метод Дюамеля.

Классический метод сводится к составлению и решению дифференциального уравнения, устанавливающего связь между входным и выходным сигналом.

Метод интеграла Дюамеля используется при произвольном воздействии сложной формы на входе цепи. В основе метода лежит принцип наложения. Суть метода: разбиение отклика на сумму, заменить ступенчатой функцией, после чего найти отклик на каждую ступень, затем просуммировать с помощью интеграла Дюамеля отклики.

Операторный метод нахождения переходных процессов основан на использовании прямого и обратного преобразования Лапласа, и связан с решением алгебраических уравнений относительно изображения.

Основные этапы анализа переходных процессов операторным методом:

1) Анализ цепи до коммутации и определение независимых начальных условий. Задание на вход цепи единичный скачок напряжения . С помощью таблиц или преобразование Лапласа найти изображение скачка:

Где - оператор Лапласа

2) Составление операторной схемы замещения цепи после коммутации. Составление операторной схемы замещения цепи производится непосредственно по схеме замещения цепи для мгновенных значений путем замены каждого идеализированного пассивного элемента его операторной схемой замещения и представления токов и напряжений идеализированных источников тока или напряжения их операторными изображениями.

3) Составление уравнений электрического равновесия цепи в операторной форме.

4) Решение уравнений электрического равновесия цепи относительно изображений искомых токов и напряжений.

5) Определение оригиналов искомых токов и напряжений. Как правило, определение оригиналов искомых токов и напряжений производится путем применения таблиц обратного преобразования Лапласа с учетом основных свойств преобразования Лапласа. Если изображение интересующей функции представляет собой отношение двух полиномов p, для выполнения обратного преобразования Лапласа можно воспользоваться теоремой разложения.

Теорема разложения. Если изображение искомого тока или напряжения имеет вид рациональной дроби

Причем многочлены (относительно p) удовлетворяют следующим условиям: степень ниже степени , a_k и b_k – вещественные числа, а корни p₁,p₂,…, p_n уравнения различны, то оригинал определяется выражением

Если знаменатель уравнения имеет один корень, равный нулю, т.е. , то оригинал находится по формуле

Если в выше приведенном уравнении имеет n различных корней (p₁,p₂,…, p_s) и из них корень p₁ кратностью m₁, корень p₂ кратностью m₂, корень p_s, то по изображению оригинал вычисляют по формуле

Здесь выражение, стоящее в знаменателе квадратной скобки, надо сначала сократить на и лишь после этого дифференцировать.

Формулу (7.2) можно также записать:

Если уравнение содержит одновременно и простые, и кратные корни, то для определения слагаемых, соответствующих простым корням, используется формула (7) или (7.1), если имеется простой корень p=0, для кратных - формула (7.2 или 7.3).

Временными параметрами, характеризующими переходную характеристику, являются постоянная времени τ и время установления t_уст.

Постоянная времени вводится для экспоненциальной функции вида: , где p . Постоянная времени характеризует скорость изменения экспоненциальной функции на начальном этапе. Под постоянной времени цепи понимают время, за которое выходной сигнал, изменившийся по закону , уменьшается в раз, т.е. до уровня от своего начального значения.

Время установления – это время, за которое переходная характеристика достигает своего стационарного значения с заданной точностью. Функция, уменьшающая по закону за время 3τ, достигает своего стационарного значения с точностью 5%. Если нет особых оговорок, то за время установления принимают 3τ (t_уст=3τ).

Воздействие в виде прямоугольного импульса может рассматриваться как наложение сдвинутых во времени на длительность импульса противоположных по знаку скачков напряжения:

Реакция цепи на такое импульсное воздействие также представляется наложением сдвинутых во времени на t_и реакций цепи на указанные скачки

2) IMG0022

БИЛЕТ№8

1) см у Олега

2) Нам хорошо известны LC цепи работающие в колебательных контурах избирательных систем и их способность выделить сигнал с резонансной частотой цепи из широкой полосы частот. Это положительное свойство LC цепей широко используется.

Но LC цепи имеют и отрицательные стороны.

Паразитные резонансы в индуктивности соединительных проводников (L_пр) и собственной емкости усилительных проборов (C_вх, C_вых) могут создавать побочные каналы усиления - в усилительных устройствах.

Рисунок 1

Паразитные индуктивности Lпр и паразитные емкости C_с-к и C_а-к образуют последовательный колебательный контур который обеспечивает прохождение паразитных сигналов на усилительный прибор.

В широкополосных системах паразитные резонансы приводят к образованию выбросов на фронтах сигнала.

Рисунок 2

 

Даже самый короткий проводник имеет индуктивность.

Индуктивность и сопротивление проводников круглого сечения
Диаметр провода, мм	Сопротивление, мОм/м	Индуктивность мкГ/м
		5 мм над "землей*"	10 мм над "землей"	20 мм над "землей"
0,41	132,6	0,0194	0,0229	0,0264
0,51	85,8	0,0181	0,0218	0,0253
0,64	54,3	0,0172	0,0207	0,0241
0,8	34,8	0,0161	0,0196	0,0230
1,0	22,3	0,015	0,0184	0,0219
1,5	9,9	0,0129	0,0164	0,0199
2,0	3,6	0,0104	0,0139	0,0173

Таблица 1

под "землей" понимается заземленная плоскость.

Каждая индуктивность имеет такое свойство как добротность.

Добротность Добротность катушки индуктивности определяет отношение между активным и реактивным сопротивлениями катушки. Добротность равна: Q=ωL/Rпот Иногда потери в катушке характеризуют тангенсом угла потерь (величина, обратная добротности) — сдвигом фаз тока и напряжения катушки в цепи синусоидального сигнала относительно π/2 — для идеальной катушки. Практически величина добротности лежит в пределах от 30 до 200. Повышение добротности достигается оптимальным выбором диаметра провода, увеличением размеров катушки индуктивности ........