6,14. Математическая постановка задач оптимального управления. Пример: «Нажимное устройство реверсивного прокатного стана».

Для обеспечения нормального функционирования нужны 8 подсистем управления:

1. подсистема управления замены и ремонта оборудования

2. подсистема управления технологическим процессом

3. подсистема управления распределения мощности (на новое оборудование возлагаются большие нагрузки)

4. подсистема управления использования мощностей

5. подсистема управления смесями

6. подсистема оперативного управления

7. подсистема управления запасами

8. подсистема управления транспортными потоками.

В зависимости от ситуации та или иная подсистема имеет дело с различными постановками задач управления.

Допустим в одном случае для одного производства какая-либо подсистема решает задачу нахождения экстремума функции одной переменной, а в другом случае для другого производства та же подсистема решает задачу линейного или нелинейного программирования. Можно, однако, все многообразие задач решаемых подсистемами управления свести довольно к ограниченному кругу типовых задач управления.

Рассмотрим 6 типовых задач, которые охватывают большинство из практически встречающихся задач управления, за исключением задач целочисленного и стахотического программирования и задач массового обслуживания.

1. Определение экстремума функции одной переменной на открытом интервале(a,b): extr f(x) (a,b) – это задача на безусловный экстремум функции одной переменной.

2. Определение экстремума функции одной переменной на закрытом интервале [a,b]: extr f(x) [a,b] – это задача на условный экстремум функции одной переменной.

3. Определение экстремума функции многих переменных на открытом интервале: extr f( ) (х1, х2, …, хn). - это задача на определение экстремума функции нескольких переменных.

4. Определение экстремума функции многих переменных на закрытом интервале: extr f( ) (х1, х2, …, хn). . Замкнутое множество обычно задается системой управления или неравенств, которая связывает аргументы х1, х2, …, хn. Данная задача разбивается на ряд частных задач.

4’ Классическая задача Ла-Гранжа:

extr f( ), ( )=0

(х1, х2, …, хn)

( ) { 1( ), …, n( )}

- n-мерный векторный аргумент

- m-мерная векторная функция

т.е. имеется m уравнений, которые называются уравнениями связи. Классическая задача Ла-Гранжа имеет аналитическое решение.

41” Определение экстремума функции многих переменных на ограничениях заданных как равенствами, так и неравенствами: extr f( ) ( )=0, ( ) 0, ( ) 0. Данная задача является неклассической и называется задачей нелинейного программирования. В общем случае она решается только численными методами.

42” Задача линейного программирования. Найти extr f( ) - на линейных ограничениях равенств и неравенств A =B, A B, A B, Ci – константа

5. Определение экстремума функционала многих переменных на уравнении связи без дополнительных ограничений на переменные.

Постановка задачи: найти вектор управления (t), доставляющий экстремум функционала J=

Если на переменную нет дополнительных ограничений, то получается классическая задача оптимального управления, которая имеет аналитическое решение:

6. Определение экстремума функционала многих переменных на уравнении связи с дополнительными ограничениями на переменные. , (U принадлежит множеству . На вектор управления накладывается ограничение. Это задача на условный экстремум функционала. Это не классическая вариационная задача и в общем случае она не имеет аналитического решения.

Пример. Нажимное устройство реверсивного прокатного стана.

i’ – время перестановки валика i’’ – время собственно прокатки.

Схематично прокатка представляет собой пропуск слитка через вращающиеся валики, расстояние между которыми меньше толщины слитка. После окончания прокатки верхний валик перемещается в сторону нижнего и пропуск осуществляется заново (рис.1). Процедура продолжается до тех пор, пока не получиться слиток заданной толщины. Нажимное устройство реверсивного прокатного стана осуществляет перемещение верхнего валика стана во время пауз между пропусками.

Для каждой прокатываемой марки стали программа прокатки заранее известна. Поэтому режим работы привода нажимного устройства характеризируется отработкой заданных следующих друг за другом конечных перемещений при неизменной нагрузки, близкой к нагрузке холостого хода

Система управления нажимами устройства должна обеспечить максимальную производительность стана. На рис. 2 представлена диаграмма характеризующая режим работы нажима устройства, т.е. перемещение верхнего валика на величину , отчитываемого от его верхнего положения. Перед началом каждого пропуска слитка в моменты времени t1, t2 … величина изменяется на требуемую перестановку валика. После последнего пропуска верхний валик возвращается в исходное положение для прокатки следующего слитка.

Время I отведенное на каждый пропуск можно представить из 2-х составляющих: 1) i’ – время перестановки валика, 2) i’’ – время собственно прокатки.

Поскольку скорость вращения валиков уже выбрана и осуществлена в прокатном стане, то сокращение времени нажимного устройства i’ позволяет сократить время проката слитка, а следовательно повысить производительность.

Поскольку привод уже выбран, то естественно необходимо поставить задачу об отыскании закона управления приводом, при котором время отработки будет минимальной.

Для привода нажимных устройств используют двигатели постоянного тока с независимым возбуждением, структурная схема которого приведена на рис.3.

Рис.3.

iЯ – ток якоря; М ДВ – движущий момент М дв = iЯ * См; - угловая скорость; - угловое перемещение нажимного устройства; См – постоянный коэффициент, выбирается по таблице, зависит от конструкции двигателя; Jp – момент инерции привода; - передаточная функция редуктора.

В первом приближении источник питания – безинерционное звено. Можно также пренебречь индуктивностью цепи якоря двигателя. При принятых допущениях движение нажимного устройства описывается системой дифференциальных уравнений:

Пусть перемещение валика нажимного устройства должно изменяться от начального состояния t=0 =0 до конечного t= i’ j+1 =0. Необходимо выбрать закон изменения управляющего воздействия, т.е. тока якоря, чтобы время перестановки было минимальным. Математически это можно выразить минимизацией функционала:

J= при f0(iЯ, ) =1

Предельно допустимое значение тока якоря следует выбирать из следующих условий:

момент, развиваемый двигателем МДВ при выбранном максимальном значении тока не должен превышать пределов, определяемых механической прочностью конструкции;

значение тока не должно превышать предельно допустимого значения по условиям коммутации;

значение тока не должно вызывать нагревание двигателя выше допустимого.

Из этих условий выбирают минимально допустимый iЯ и в процессе управления обеспечивают | iЯ| IM . Скорость привода также ограничено, поскольку ограничено напряжение питания. Кроме того, поскольку программа прокатки строго задано, то можно и считать ограниченной и координату . Сведем выражения воедино:

| iЯ| IM, | | , | | m

Данная задача формируется:найти такое i*Я (t) доставляющее extr (min) функционалу i.

Видно что задача о максимальной производительности прокатного стана сводиться к 6 задачи типового управления производством, т.е. неклассической вариационной задачи оптимального управления.