53. Устойчивость нелинейных систем. Метод л.С. Гольдфарба.

Подадим на вход нелинейного звена (рис. 18.38, а) синусоидальные колебания

На выходе нелинейного звена получим согласно вынужденные колебания . Разложим в ряд Фурье и сохраним только основную синусоиду (первую гармонику), отбросив все высшие гармоники. Очевидно, что это приближенное представление вынужденных колебаний эквивалентно гармонической линеаризации нелинейностей. На основании этого для определения первой гармоники вынужденных колебаний величины y можно воспользоваться частотным аппаратом, который применялся ранее для линейных систем, следующим образом.

Приближенная передаточная функция нелинейного звена с уравнением будет:

- при наличии гистерезисной петли

- при отсутствии гистерезисной петли (однозначная нелинейность)

Приближенный комплексный коэффициент усиления, или приближенная АФХ нелинейного звена с уравнением будет:

(1)- при наличии гистерезисной петли

- при отсутствии гистерезисной петли

Эта приближенная АФХ определяет амплитуду и фазу первой гармоники на выходе нелинейного звена (если на его вход подается синусоида), а именно выражение (1) представить в виде:

, где

- фазовый сдвиг

а- амплитуда на входе нелинейного элемента;

В результате получим следующие вынужденные колебания на выходе нелинейного элемента (первая гармоника)

если =0, то существуют автоколебания

- обратная инверсия

Общая приближенная АФХ всей разомкнутой цепи с нелинейным звеном будет:

Незатухающие синусоидальные колебания с постоянной амплитудой в замкнутой системе определяются согласно частотному критерию устойчивости прохождением АФХ разомкнутой системы через точку (-1;j0), т.е. W=-1. Это и будет в данном случае условием существования периодического решения для замкнутой системы, которое принимается приближенно синусоидальным. Итак имеем условие

- условие автоколебания

П ериодический режим устойчив, если инверсная обратная АФХ нелинейного элемента т.е. по росту амплитуды протыкает АФХ линейной части изнутри наружу.

Эти характеристики определяют амплитуду и физический смысл второй гармоники, если на вход подано гармоническое колебание

Если на вход нелинейного элемента подан сигнал , то на выходе нелинейного элемента 1-ая гармоника может быть описана следующим гармоническим уравнением

Тогда в соответствии с

у

Для однозначной н/л:

54. Идентификация динамических систем. Активные и пассивные методы идентификации.

Адаптивные системы характеризуются возможностью оценивать не наблюдаемые переменные процессы, прогнозировать состояние процесса, при имеющихся или выбираемых управляющих и автоматически синтезировать оптимальность стратегии управления.

Все эти задачи решаются с применением математических моделей процесса. Поэтому создание ее в современной теории управления играет первостепенную роль. Под математической моделью здесь понимается оператор связи между функциями входных и выходных сигналов процесса. Задачи связанные с созданием математической модели целесообразно решать в 2 этапа:

На первом этапе на основе априорных сведений о физико-химических изменениях происходящих в процессе, составляется исходная модель. Обычно эта модель содержит неизвестные величины т.е. параметры, получение которых на основе априорных знаний слишком сложно или даже невозможно. Эта модель иногда содержит некоторые элементы структуры, целесообразность включения которых не является очевидной. Таким образом после первого этапа необходим второй. В ходе которого на основе наблюдения за входом и выходом переменного процесса определяются неизвестные параметры процесса и решается вопрос о выборе структуры модели.

В решении задачи второго этапа существенную роль играет эксперимент, а также наблюдение при этом за входными и выходными сигналами объекта. Путем обработки полученных наблюдений определяется структура модели и ее параметры. Этот второй этап и принято называть идентификацией.

При создании системы управления на этапе идентификации должны быть решены следующие вопросы:

1. Какой метод выбрать для идентификации.

2. Как выполнить сбор данных и как использовать эти полученные данные в промышленных условиях.

3. Как оценить качество полученного результата.

4. Как влияет точность полученного результата на качество оценивания ненаблюдаемых переменных объекта.

Активные и пассивные методы идентификации.

Задачей идентификации динамических систем в том числе и объектов регулирования заключается в оценке по результатам наблюдения за изменениями входных и выходных величин математических моделей технических систем.

Методы идентификации систем можно разделить на активные и пассивные. Использование активных методов предполагает постановку на действующей системе специальных экспериментов в определенной степени нарушающих нормальный режим работы системы.

Пассивные методы определяемые математическими моделями не требуют специально спланированных экспериментов. Модель системы ищется по результатам наблюдения за его естественными изменениями входных и выходных величин, то обстоятельство, что пассивные методы позволяют получить математическую модель без нарушения хода технологического процесса делают их крайне привлекательными, однако следует иметь в виду, что успешное применение пассивных методов идентификации по данным нормально функционирующей системы, возможно только при выполнении следующих условий:

1. Случайные помехи, искажающие реакцию на выбранное входное воздействие, должны быть независимыми от этого воздействия, в противном случае в составе погрешности оценки динамической характеристики помимо случайной составляющей, которая может быть сведена до допустимо малой величины с помощью методов математической статистики, будет также входить и неустранимая систематическая погрешность.

2. Входное воздействие по которому осуществляется идентификация должно обладать достаточно широким спектром, по крайней мере не меньшим, чем полоса частот в которой требуется оценить динамические характеристики системы.

Необходимо подчеркнуть, что вопреки распространенному мнению, необходимость применения активных методов обусловлена не только тем, что так проще, а объективно реально существующими ограничениями, которые могут сделать задачу идентификации пассивными методами принципиально не решаемой, каким бы ни был современный математический аппарат, обработки результатов наблюдения.