37. Устойчивость линейных непрерывных систем. Критерий устойчивости Найквиста.

Если разомкнутая САР неустойчива, то среди корней ее характеристического уравнения есть т правых корней. Тогда согласно принципу аргумента получим

Чтобы замкнутая САР была устойчивой, надо чтобы ее характеристическое уравнение имело бы все корни левые, следовательно, согласно принципу аргумента:

Тогда в этом случае согласно (IV. 3.7) получим (изменение аргумента вспомогательного вектора)

Множитель 2л обозначает, что вектор f(jω) совершает вокруг начала координат полный оборот.

Тогда критерий Найквиста для неустойчивых разомкнутых систем при учете (IV.3. 9) может быть сформулирован следующим образом:

Для устойчивости замкнутой САР при неустойчивой разомкнутой системе необходимо и достаточно, чтобы АФХ разомкнутой CAP W_p(jω), начинаясь на действительной оси, при росте частоты ω от 0 до ∞ охватывала точку (-1, j0) в положительном направлении т/2 раз, где т -число правых корней характеристического уравнения разомкнутой САР.

П усть W_p(jω) имеет вид, изображенный на рис. IV.1.6, охватывает точку (-1,j0) в положительном направлении 1 раз, т.е. , поэтому m=2.

Е сли характеристическое уравнение разомкнутой САР имеет 2 правых корня, система в замкнутом состоянии устойчива. Для W_p(jω), изображенной на рис. IV.16, наличие у характеристического уравнения разомкнутой системы числа правых корней не равных 2, означает неустойчивость замкнутой САР.

Ч асто из-за наличия местных обратных связей АФХ разомкнутой САР совершает несколько оборотов вокруг точки (-1,j0) и имеет достаточно замкнутую конфигурацию (рис. IV.17).

Здесь подсчитывать число оборотов W_p(jω) вокруг точки (-1, j0) затруднительно. Для подобных случаев видный советский ученый Я. 3. Цыпкин предложил удобную методику, базирующуюся на понятиях положительного и отрицательного переходов.

Переход амплитудно-фазовой характеристикой разомкнутой CAP W_p(jω) ростом частоты отрезка действительной оси (-∞;-1] сверху вниз называется

положительным (+), а снизу в верх - отрицательным (-).

Т огда критерий Найквиста в формулировке Цыпкина предстает в следующем виде: Замкнутая САР устойчива, если разность между числом положительных и отрицательных переходов равна , где т - число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.

На рис. IV.17 изображен случай, когда имеется два положительных и один отрицательный переход, т.е.

и, значит, если характеристическое уравнение разомкнутой САР имеет 2 правых корня (только в этом случае!), то замкнутая САР устойчива. Подчеркнем еще раз, что при подсчете переходов исследуется только тот участок (-∞;-1] и не принимается во внимание остальная часть действительной оси.

Сейчас мы рассмотрим случай IV. 3. 3. 2 для неустойчивой разомкнутой САР. Однако, вышеприведенная формулировка Цыпкина критерия Найквиста применима к случаю IV.3. 3. 1, т. е. для устойчивой разомкнутой САР (рис. IV. 18).

На рисунке изображена АФХ разомкнутой системы, имеющая 1 положительный и 1 отрицательный переходы. По Цыпкину

таким образом, система будет устойчива, если разомкнутая система тоже устойчива, т.е. имеет т=0 правых корней своего характеристического уравнения, а это и есть случай IV. 3.3.1.