II. Аксиомы умножения вектора на число

Вторая группа аксиом описывает отображение , называемое операцией умножения вектора на число, при этом каждому вектору и числу однозначно отнести вектор , называемый произведением вектора на число , так что выполняются аксиомы:

II1: Операция умножения дистрибутивна по отношению к сложению векторов .

II2: Операция умножения дистрибутивна по отношению к сложению чисел .

II3: Операция умножения вектора на число ассоциативна .

II4: Операция умножения вектора на единицу не меняет вектора [2].

Теорема 1.5. Произведение любого вектора на число 0 равняется нулевому вектору.

Доказательство. С одной стороны, имеем . С другой стороны, прибавляя почленно к обеим частям полученного равенства вектор , противоположный к вектору , мы получим .

Таким образом, , т.е. ■

Теорема 1.6. Противоположный вектор для вектора равен , т.е. .

Теорема 1.7. Произведение вещественного числа на нулевой вектор равняется нулевому вектору, т.е. .

Система векторов называется линейно зависимой, если равенство выполняется для некоторых постоянных , причем [2].

III. Аксиомы размерности

III1: Существует три линейно независимых вектора , т.е. если .

III2: Любые четыре вектора линейно зависимы, т.е. если .

Всякая система трех линейно независимых векторов называется базисом данного трехмерного векторного пространства.

Теорема: Всякий вектор векторного пространства можно разложить, и притом единственным образом, по векторам базиса.

Числа x1,x2,x3 называются координатами вектора в базисе [2].

IV. Аксиомы скалярного произведения векторов

Четвертая группа аксиом описывает отображение , называемое операцией скалярного умножения векторов, при этом любым двум векторам и однозначно сопоставляется число , называемое скалярным произведением двух векторов, так что выполняются аксиомы:

IV1: Скалярное произведение векторов коммутативно .

IV2: Скалярное произведение векторов линейно

IV3: и .

Скалярное произведение векторов позволяет определить число называемое скалярным квадратом вектора .

Корень квадратный из этого числа называется длиной вектора и обозначается .

Углом между векторами и называется число φ определяемое равенством

[2].

V. Аксиомы откладывания векторов

Пятая группа аксиом описывает операцию откладывания вектора от точки, при этом любым упорядоченным двум точкам А и В однозначно сопоставляется вектор : , причем точка А называется начальной точкой вектора , а В – конечной. Для операции откладывания вектора от точки выполняются следующие аксиомы:

V1: Для каждой фиксированной точки А и каждого вектора существует единственная точка В такая, что .

V2: Для любых трех точек А, В, С справедливо равенство [5].

Любая математическая система требует аксиоматического обоснования. Например, аксиоматика Гильберта. Примером другого аксиоматического построения геометрии является аксиоматика Вейля. Она также удовлетворяет всем требованиям предъявляемым к системам аксиом.