6. Непротиворечивость

Поскольку использ Аристотелева двузначная ночи-ка в которой запрещается противоречия или другое слово наличие противоречий отличает ложность высказываний(з-н противоречия)

Противоречивыеобьекты в мат-ке считаются не сущ-ми. Др словами «Существование в матем-ке равносильно отсуствию противоречия» (Пуанкаре)

Если есть аксиоматическая теория , то она наз внутренней, не притворечивой, если среди её аксиом и теорем нет противоречущих друг другу то не должно быть не двух аксиом отриц друг друга, ни аксиом и теоремы, ни двух теорем отриц друг друга. Если аксиом теор не противор, то её сис-ма аксиом непротиворечива. [ɣ]-описание. Поскольку вывод новых теорем впринципе не оганич процесс , то внутреннее непротиворечивость проверить сложно.

Более того как следует из теорК.Геделя о «неполноте» док-тьвнутреннююнепротивордостат сложно с матем теории. НапртеорN чисел впринципе невозможно(1931 г). Есть другое понятие непротиворечивости, кот легче проверяются.

Аксиомат теория Tназ относительно непротиворечивой если можно построить её модель T на основе теории S. Если такая теория построить , то теория T непротиворечива S. Из аксиомы сис-мы аксиом Ԑ_S=>Ԑ_T=>Th₁,The… Др словами Вопрос о непротивор одной теории свод к вопросу о непротивор другой. Для огромного количествамат теории могут быть построены модели на основе R и это означает Т.О что эти теории на противорнапр для чего если непротиворR иди для ещё более ф-ной теории N. Из примеров => что теория в-ногопростр-ва теория действ чисел или метод коорд, позволяющий свести геометр к числам означает что Евклидова геометрия непротиворечива, если непротиворечива теория дейст чисел.

7.Независимость аксеом и полнота систем аксеом.

Акс. теория дедуктивно полная.

результат доказуемости аксеом бывает трехвозможен:

1утверждение истино

2утв недоказуемо

3утв ложно

Полнота<=>катигоричность.

акс теория назкатигоричной если все ее модели изоморфны(т.е. если между основными эл-тами этих моделей можно установить взаимооднозн. отнош,при кот. сохраняются основные отнош)

Матем теории:1котегоричные.

2 некотегоричные:2.1топология

2.2 теория групп

Способы исследования:1исходя из системы аксеом

2 любой модели

Акс теория описана конечным списком аксеом

существует много зависимых аксеом.это проверяется с помощью моделей :

1не Аn-отрицание

2(буква сигма штрих по Т):А1...,Аn-1, не Аn

если мы докажем то можем построить след модель:(буква сигма поR=>буква сигма поT,буква сигма поR=>буква сигма поT )

если Аn и не Аnнезавис,то буква сигма по r -противоречива, т.к. выполняется Аn и не Аn .

8. Аксиоматика Гильберта, I и II группы

Система из 20 аксиом поделена на 5 групп:

1. Аксиоматика принадлежности

2. Аксиомы порядка

3. Аксиомы конгруэнтности

4. Аксиома параллельности

5. Аксиомы непрерывности

1. аксиомы принадлежности:

   1. Каковы бы ни были две точки A и B, существует прямая a, которой принадлежат эти точки.

   2. Каковы бы ни были две различные точки A и B, существует не более одной прямой, которой принадлежат эти точки.

   3. Каждой прямой a принадлежат по крайней мере две точки. Существуют по крайней мере три точки, не принадлежащие одной прямой.

   4. Каковы бы ни были три точки A, B и C, не принадлежащие одной прямой, существует плоскость α, которой принадлежат эти три точки. Каждой плоскости принадлежит хотя бы одна точка.

   5. Каковы бы ни были три точки A, B и C, не прин-щие одной прямой, сущ-ет не более одной плоскости, которой принадлежат эти точки.

   6. Если две принадлежащие прямой a различные точки A и B принадлежат некоторой плоскости α, то каждая принадлежащая прямой a точка принадлежит указанной плоскости.

   7. Если существует одна точка A, принадлежащая двум плоскостям α и β, то существует по крайней мере ещё одна точка B, принадлежащая обеим этим плоскостям.

   8. Существуют по крайней мере четыре точки, не прин-щие одной плоскости.

2. аксиомы порядка:

   1. Если точка B прямой а лежит между точками А и С той же прямой, то А, В и С —различные точки указанной прямой,причем В лежит также и между С и А.

   2. Каковы бы ни были две различные точки А и С, на определяемой ими прямой сущ-ет по крайней мере одна точка В такая,что С лежит междуА и В.

   3. Среди любых трёх точек, лежащих на одной прямой, существует не более одной точки, лежащей между двумя другими.

   4. Аксиома Паша

Если прямая не проходит не через одну из сторон, вершин и пересекает одну сторону, то она пересечёт только одну сторону.

Док-во: Пусть Р-точка пересечения АВ и L. Q-BC и L по аксеомеII₃ из трёх точек P, Q,R- одна лежит между двумя другими. Q “между” и P и Q. Треугольник APR, прямая m=BC пересекает сторону PR в точке Q, а две другие стороны [АР] и [AR] – не пересекают, т.к. она пересекает эти стороны в точках. Получаем противоречие.