2.2. Некорректность задачи восстановления сигналов

Проверим три необходимых для корректности задачи условия [4].

1. Существование решения. Вопрос о существовании решения интегрального уравнения

(2.14)

тесно связан с условиями, налагаемыми на ядро и на правую часть .решение может не существовать вообще, либо существовать не для всякой правой части. Например, если ядро имеет непрерывную производную по х, то и правая часть уравнения также должна иметь непрерывную производную по х. Если же правая часть содержит точки, в которых функция не имеет производной (этот случай встречается, например, когда воспроизводимый график оказывается ломаной линией), то очевидно, что при наличии ядра с непрерывной производной уравнение (2.14) не имеет решения. Таким образом, существование решения зависит от того, к каким классам (пространствам) функций Φ и F по сути задачи относятся сигнал и отклик . Естественно, уравнение (2.14) имеет решение только для таких правых частей , которые принадлежат образу KΦ множества Φ функций при отображении

f=K Φ.

Пусть ядро уравнения (2.14) является симметричным ядром:

.

Тогда в силу теоремы Гильберта-Шмидта [20] для существования решения уравнения (2.14) необходимо, чтобы функция разлагалась по собственным функциям ядра :

.

Здесь – коэффициенты разложения функции относительно собственных функций ядра:

,

а собственные функции удовлетворяют интегральным уравнениям вида

,

где – собственные значения (собственные числа) ядра . Заметим, что симметричность ядра гарантирует существование собственных значений и их действительность, а также ортогональность собственных функций, отвечающих различным собственным значениям.

Если система собственных функций симметричного ядра является полной, причем, и (предполагается, что , ), то уравнение (2.14) имеет решение, принадлежащее , и притом единственное, тогда и только тогда, когда ряд

(2.15)

сходится. Это утверждение составляет содержание теоремы Пикара [21].

Если отказаться от предположения о симметричности ядра и принадлежности его к и считать, что – просто некоторое непрерывное ядро, то можно показать, сто уравнение (2.14) может не иметь решения и в классе . Например, если ядро является многочленом по переменной х

, (2.16)

То левая часть уравнения (2.14) будет иметь вид

и, следовательно, такой же вид должна иметь и правая часть (2.14), т.е. функция . В частности, если ядро уравнения (2.14) равно , то уравнение имеет решение только для таких правых частей , которые являются линейной функцией х. Отсюда следует, что если функция – произвольная непрерывная на , то при данном ядре (2.16) уравнение (2.14) не имеет решения.

В практических задачах восстановления сигналов мы обычно уверены в существовании функции , стоящей под интегралом в левой части уравнения (2.14). Отсутствие решения в таких задачах может объясняться лишь неадекватностью математической модели реальному функционированию системы.

2. Единственность решения. Ответ на вопрос о единственности решения уравнения (2.14) с симметричным ядром в классе дается теоремой Пикара [21] о сходимости ряда (2.2). Для однозначного решения здесь существенно важным оказывается условие полноты системы собственных функций ядра [21].

Пусть, например, существуют не равные нулю почти всюду функции , …, такие, что

.

Тогда если – решение уравнения (2.14), то функция

,

где – произвольные постоянные, также будет решением этого уравнения и, следовательно, решение определяется неоднозначно.

Для однозначного восстановления сигнала необходимы какие-то принципы отбора единственного «истинного» решения среди всех возможных, основанные на дополнительной априорной информации о сигнале. В частности можно воспользоваться методами интерполяции и экстраполяции функций, если дополнительная информация позволяет как-то ограничить класс возможных функций и ее можно использовать для устранения неоднозначности решения. Интересно, что даже на первый взгляд незначительная дополнительная информация, например информация о протяженности (длительности) восстанавливаемого сигнала, позволяет снять неопределенность решения [6, с.81].

3. Устойчивость решения. До сих пор мы не интересовались точностью измерения отклика системы, полагая, что правая часть интегрального уравнения (2.14) известна точно, без ошибок. На практике ошибки измерения неизбежны и вместо уравнения с точно известной правой частью приходится решать это уравнение с приближенной правой частью известной, например, с точностью :

.

Это было бы вполне приемлемо, если решение уравнения (2.14) было бы устойчиво к малым изменениям правой части.

Строгое определение устойчивости решения состоит в следующем [4]. Пусть каждому элементу отвечает единственное решение Φ, получаемое по некоторому правилу . Тогда решение из пространства Φ по исходным данным из пространства F называется устойчивым (на этих пространствах), если для любого можно указать такое число , что из неравенства следует , где ; , Φ.

В таком определении решение интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода с ядром, принадлежащим или , оказывается неустойчивым. Это объясняется тем, что оператор уравнения K, действующий в или в и переводящий функцию в функцию по правилу

K ,

является вполне непрерывным оператором: он отображает всякое ограниченное множество элементов в компактное множество элементов {K }. Критерием того, что оператор K является вполне непрерывным, обычно может служить условие [22]:

,

которое соблюдается для весовых функций реальных систем.

Вместе с тем одним из существенных моментов в теории интегральных уравнений является то, что оператор, обратный вполне непрерывному, не ограничен [21]. Поэтому, если – два близких между собой элемента из пространства F и оба уравнения K =f₁ и K =f₂ разрешимы, то соответствующие решения K^-1 f₁ и K^-1 f₂ могут сильно различаться друг от друга в пространстве Φ.

Таким образом, сколь угодно малая погрешность в определении правой части уравнения (2.14) может привести к сколь угодно большой ошибке решения.