21.Понятие случайной вел-ны. Дискретные и непрерывные случ. Вел-ны.

Случайной называется вел-на, кот. в рез-те опыта может принять то или иное возможное значение неизвестное заранее, но обяз-но одно. Пример: число попадений при 5 выстрелах, цена акций на бирже в опр. момент времени. Дискретной случайной вел-ной (с.в.) называют такую с.в., мн-во возм. знач. кот. либо конечное, либо бесконечное, но счетное. Пример: число солнечных дней в году. Непрерывной с.в. называют такую с. в., кот. может принять любое значение из некот. конечного или бесконечного интервала. Пример: расходы горючего на единицу расстояния. с.в. обозначаются большими лат. буквами из конца алфавита(X, Y, Z). х₁ ,х₂- соотв. знач. с. в. Введем операции над с.в. Пусть имеется 2 с.в. X и Y, возм. знач. кот. явл.

х₁,х_2
…..х_n и y₁,y_2
…..y_n. Опр.: Суммой X+Y с.в. X и Y называют с.в. Z , возм. знач. кот. равны . Опр.: Произведением XY с.в. X и Y называется с.в. Z, возм. знач. кот. равны . Опр.: Произведением CX с.в. X на постоян. C называется такая с.в. Z, возм. знач. кот. равны . Аналогично определяются X-Y и X\Y двух с.в.

22.Ряд распр. Дискретной случайной вел-ны

Появление тех или иных знач. случайной вел-ны (с.в.) можно рассм. как соб., а различным соб. соотв. различные вер-ти. Поэтому возм. знач. с.в. различаются между собой с вер-ной т. зр. Перечисление всех возм. знач. с.в. не дает достаточно полного представл. о ней. Кроме знач. с.в. необходимо знать, как часто м. появляться те или иные знач. с.в. в рез-те исп-ний, проводящихся в одинаковых условиях. Рассмотрим дискретную с.в. X, возм. знач. кот. х₁,х_2
…..х_n. Каждое из этих знач. возможно, но не достоверно, и с.в. X м. принять каждое из них с некоторой вер. В рез-те опыта вел. X примет одно их этих знач.: , т.е. произойдет одно из полной группы несовместн. событие. Обозначим вер. этих соб.: Т.к. указ. соб. несовместны и образуют полную группу, то , т.е. сумма вер. всех возм. знач. = 1. Если мн-во знач. с.в. образует бесконечное, но счетное мн-во, то ряд сходится и его сумма = 1. Т.о. суммарная вер. единицы распределена между отд. знач. с.в. С.в. будет полностью описана с вер. т. зр., если мы зададим это распр., т.е. в точности укажем, какой вер. обладает каждое из соб. Опр.: Законом распр. СВ называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возм. знач-ми СВ и соотв. им вер-ми. Закон распр. м. задать табличным, графич. или аналит. способами. При табл. способе 1-ая строка табл. содержит возм. значение СВ, а 2-ая - соотв. вер-ти. Обычно знач. СВ располагают в возраст. порядке. Чтобы придать ряду распр. более нагляднй вид часто прибегают к его граф. изображению. По оси абсцисс откладывают возм. знач. СВ, а по оси ординат вер-ти этих знач.. Получ. точки соединяют отрезками прямых. Получ. фигуру называют многоугольником. распр. Он полностью характеризует СВ и является одной из форм закона распр. Замечание: Ряд р. и многоуг. р. можно построить только для дискретной СВ

23.Функция распр. Св и ее свойства

Ряд распр. не явл. исчерпыв. хар-кой для СВ, т.к. он сущ-ет только для дискретн. СВ. Непрерывная СВ(НСВ) имеет бесчисленное мн-во возм. знач., сплошь заполняющ. некот. промежуток. Составить табл., в кот. были бы перечислены все возм. знач. СВ невозможно. Кроме того в дальнейшем будет показано, что каждое отд. знач. обладает нулевой вер. Однако несмотря на рав-во 0-вых вер. отд. знач. НСВ, нахождение ее возм. знач. в разл. интервалах обладает разл. и отличными от 0 вер. Т.о. для НСВ, так же как и для ДСВ, можно определить закон распр., но в неск-ко ином виде. Для хар-ки поведения НСВ целесообразно использовать не вер. события X=x, а вер. соб. X<x, где x – некот. действит. число. Вер. P(X<x) явл. функцией аргумента x. Будем обозначать эту ф-цию. F(x). Опр.: Ф-цией распр. СВ X - ф-ция F(x), задающая вер. того, что СВ X принимает значение меньшее x, т.е. F(x)=P(X<x). Ф-ция. распр. F(x) назыв. также интегр. ф-цией распр. или интегр. законом распр. Ф-ция распр. существует для всех СВ(как дискр., так и непрерывн.).Она полностью хар-ет СВ с вер. т. зр., т.е. является одной из форм закона распр. Ф-ция распр. допускает простую геом. интерпретацию. Рассмотрим СВ X как случ. точку на оси OX, кот. в рез-те опыта м. занять то или иное положение. Пусть на оси OX выбрана конкр. точка x, тогда в рез-те опыта случ. точка X м. оказаться левее или правее точки x. Вер. того, что случ. точка X оказалась левее точки x и будет являться ф-цией. распр., зависит от положения точки x. (рисунок). Для ДСВ, кот. может принимать значение х₁,х_2
…..х_n, ф-ция. распр. имеет вид , где нер-во означает, что суммирование касается всех тех знач. х_i, вел-на кот. <x. Поясним эту формулу исходя из аргумента F(x). Предположим, аргумент x принял какое-то опр. знач., но такое, что выполняется нер-во , тогда левее числа x на числ. оси окажутся только те знач. СВ, кот. имеют индекс 1,2,3…,i. Поэтому нер-во X<x выполняется, если вел-на. X примет знач. х_k, где k=1,2,3…,i. Т.о. соб. X<x наступит, если наступит любое из соб. , ,…, . Т.к. эти соб. несовмест., то по теор. слож. вер.P(X<x)= + +…+ = . Построим ряд распр. ДСВ Х:

Х	x₁	x₂	…	x_i	…	x_n
p	p₁	p₂	…	p_i	…	p_n

При , F(x)= =0; При , F(x)= = ; при , F(x)= = = ; при , F(x)= = + ; при , F(x)= = +…+ = ; при , F(x)= +…+ = . Для ДСВ график ф-ции распр. представляет собой разрывную ступенчатую фигуру. (нарисовать). Когда перемен. х проходит через какое-ниб. из возм. знач. СВ, знач. Ф-ции распр. меняется скачкообразно,т.е. ф-ция имеет скачок в тех точках, в кот. СВ принимает конкр. знач. согласно ряду распр., причем вел-на скачка равна вер. этого знач.. Замечание: По ф-ции распр. ДСВ всегда м. восстановить ее ряд распр. Св-ва ф-ции распр.: 1) если F(x) –ф-ция распр. СВ Х, то для всех х. Это св-во вытекает из опр. Ф-ции распр.; 2) F(x) явл. неубывающей, т.е. при , . Док-во: Пусть - точки числ. оси, причем . Покажем, что . Рассмотрим 2 несовмест. соб.: соб. А состоит в том, что , а соб. В сост. в том, что . Тогда соб. А+В = . По теор. слож. вер. P(A+B)=P(A)+P(B) или P(X< )= P(X< )+P( ). Используя опр. ф-ции распр. получаем F(х₂)=F(х₂)+ P( ). Т.к. вер. того, что ( ) 0, то F(х₂) F(х₁), т.е. F(x) – неубыв. ф-ция; 3) если F(x) – ф-ция распр., то =0, =1. Док-во: Т.к. F(x) – монот. Ф-ция и ограниченная (из св-ва 1), то сущ-ет. В силу предполагаемой непрерывности F(x) можно записать, что = = . Т.к. соб. невозможное, то его вер.=0. Значит =0. Аналогично = = . Соб. - достоверное, а его вер. =1. Значит =1.