12. Многочлен Чебышева с нормировкой по значению многочлена в нуле
Найти
степени n, наименее отклоняющийся от
нуля на [a; b] среди всех мнгч-в степени
n, принимающих значение 1 при x=0. Таким
мнгл-м является мнгч
.
При b>a>0 получим, что:
где
Обозначим:
,
=>
Далее пользуемся тождествами:
,
при
=>
.
Подставим выражение для
и
получим:
,
.
Получим:
,
где
Т. о.
,
где
нули такие же, как у мнгч Чебышева:
,
k=1, …, n
Рассмотрим пример.
Для мнгч
подобрать
так,
чтобы минимизировать величину
,
.
Ясно, что
=> мнгч нормирован значением в нуле.
Задача будет решена, если подберем
так,
чтобы
.
Заметим, что
корнями функции
являются значения
.
Для решения задачи эти корни должны
совпадать с корнями мнгч Чебышева. Если
обозначим
-
корни
,
то должно выполняться
=> Находим
из
уравнения
=> при таком выборе
,
где
,
,
.
,
k=1, …, n.
Т.о. доказана
лемма:
)
достигается при
определенных
по формуле и равен
,
k=1, …, n и равен
13. Явный итерационный метод Чебышева
Рассмотрим (1)
и рассматриваем
итерационный процесс 
(2)
И считаем, что
задана норма
.
Теорема.
Пусть A - симметричная, положительно
определенная матрица.
ее наименьшие и наибольшие собственные
значения. Пусть задано число итераций
n. Среди методов вида (2) наименьшую
погрешность имеет метод, для которого
(3).
,
,
k=1, …, n (4).
Если
определено по формулам (3) и (4), то
,
где
(6).
,
.
Д-во: Пусть
,
тогда
=>
.
где
.
Пусть
собственные
значения матрицы А, тогда у
собственные
значения будут:
.
Т.к.
- симметрическая, то
- спектральный радиус.
(первый максимум по
,
второй максимум по
)
=> неравенство (5) доказано.
Осталось доказать, что лучше, чем эти, параметров нет.
Пусть
- другой набор параметров =>
,
при
мнгч нормирован.
=>
и пусть
то число, при котором
(достигается
максимум). Тогда найдется матрица и
элемент
.
Тогда
.
И т.к.
-
собственный вектор, то
=>
.
ЧТД
Теорема.
Пусть А - симметрическая, положительно
определенная матрица. Если точные
границы спектра
и
неизвестны,
но известны их границы
,
и параметры
определены
согласно формулам (3) и (4), где
,
то для погрешности справедлива оценка
(5), где
определяется по формуле (6), в которой
.
Д-во:
, нужно оценить
- спектральный радиус оператора
.
(первый максимум по
второй
максимум по
).
ЧТД
14. Неявный итерационный метод Чебышева.
+ A
= f,
k
= 0,1,…
задан,
(14)
с
симметричной положительно определённой
матрицей B
и переменными параметрами
.
Скорость сходимости метода (14) будет
определяться отношением
минимального и максимального собственных
чисел обобщённой задачи:
Aμ = λBμ (15)
При
соответствующем выборе матрицы B
это отношение будет больше чем
,
а следовательно итерационный метод
(14) будет сходиться быстрее, чем явный
метод.
Теория неявных итерационных методов легко сводится к теории явного метода. В ходе доказательства будет использоваться теорема: Теорема 1 из предыдущего вопроса(вставить сюда её формулировку)
Для неявного чебышевского метода справедлива теорема:
Теорема.
Пусть
A
и B-
симметричные положительно определённые
матрицы, а
- соответственно наименьшее и наибольшее
собственные значения задачи (15). Пусть
задано число итераций n.
Метод (14) имеет минимальную погрешность
,
если параметры
определить так:
k = 1,2,…,n
(3)
,
k = 1,2,…,n (4)
при этом справедлива оценка
,
(16)
где
(17)
Доказательство.
Погрешность
удовлетворяет однородному уравнению
+ A
= 0, k = 0,1,…
(18)
Умножим
уравнение (18) на матрицу
и обозначим
=
. Тогда получим уравнение
+ C
= 0, k
= 0,1,…
(19)
где C = A . Нужно проверить выполнение условий теоремы 1 по отношению к матрице C.
Матрица
C
является симметричной и положительно
определённой, причём её спектр совпадает
со спектром обобщённой задачи на
собственные значения (15). В частности
является минимальным собственным числом
матрицы C,
а
- максимальным. Следуя теореме 1, выберем
параметры
согласно (3), (4), где ξ =
.
Тогда для решения уравнения (19) будет
выполняться оценка
≤
Подставляя сюда = , k=0,…,n получим
≤
т.е. придём к требуемой оценке (16). Теорема доказана.