2. Накопление погрешностей округления.

Пусть необходимо вычислить сумму (1) или произведение

Тогда вычисления организуются обычно следующим образом. Задается начальное значение и затем последовательно, начиная c j=1, находятся числа связанные рекуррентным соотношением

(2)

Для вычисления произведения .достаточно задать начальное значение и воспользоваться рекуррентными соотношениями

(3)

Уравнения (2) и (3) являются частными случаями линейного разностного уравнения первого порядка

(4) , где -— заданные числа, —искомые числа.

Коэффициенты правые части ,- и искомое решение уравнения (4) можно рассматривать как функции целочисленного аргумента j, т. е. ,

Подставляя в (4) вместо выражение получим

Теперь можно подставить сюда выражение для , затем — для и т. д. В результате получим формулу, в которой , выражается через Эта формула имеет вид

(5) ,где /знак системы/

А если все , тогда . Если все , тогда . А если все , тогда получим оценку

Оценка погрешности вычисления произведения

Вычисление произведения n вещественных чисел проводится по формуле

Предположим, что в результате округления вместо точного значения , получено приближенное значение , . =

Вместо , получаем т. е. приближенное значение удовлетворяет рекуррентному -

соотношению , гд е

Результирующая погрешность равна

поэтому относительная погрешность есть

Получим оценки:

;

Таким образом, получим

Заметим, что данное утверждение верно, если в процессе вычисления не появляется машинный нуль или машинная бесконечность.

Пример: - максим.порядок числа который можно записать в машине. Здесь получается машинная бесконечность, если перемножать слева. А если справа, то машинный ноль. Т.е. при указанном порядке действий выполнение алгоритма становится невозможным. Необходимо видоизменять алгоритм. Правильный алгоритм:

Оценим погрешность вычисления суммы ; Предположим, что вместо точного значения в результате накопления погрешности округления получим Тогда, согласно (6) получим вместо и согласно формуле = ; Тогда воспользуемся формулой (5) и т.к.

=/знак системы/

Оценим величину

Т.о. получим, что Предполагаем, что т.о. получим:

3. Метод Гаусса. Подсчет числа действий. Метод Гаусса с выбором главного элемента.

Численный метод решения системы линейных алгебраических уравнений Ax = f (1)

где А — вещественная квадратная матрица порядка m, a f — заданный и х — искомый векторы.

Будем предполагать, что определитель матрицы А отличен от нуля. Тогда для каждого вектора f

система (1) имеет единственное решение.

Запишем систему (1) в развернутом виде

,

… (2)

Метод Гаусса решения системы (2) состоит в последовательном исключении неизвестных из этой системы. Предположим, что . Поделив первое уравнение на , получим

(3) где , ,

Рассмотрим теперь оставшиеся уравнения системы (2):

(4)

Умножим (З) на и вычтем полученное уравнение из i-го уравнения системы (4), i = 2, .... m. В результате получим следующую систему уравнений:

,

… (5)

Здесь обозначено

Матрица системы (5) имеет вид

… (7)

Если то из системы (7) аналогично можно исключить

Исключая таким же образом неизвестные , придем

окончательно к системе уравнений вида

+... ,

+... ,

…. (8)

эквивалентной исходной системе (2).

Матрица этой системы

… (9)

0 0 … 0 1

содержит нули всюду ниже главной диагонали. Матрицы такого вида называются верхними треугольными матрицами. Нижней треугольной называется такая матрица, у которой равны нулю все элементы, расположенные выше главной диагонали. Получение системы (8) составляет прямой ход Метода Гаусса.

Обратный ход заключается в нахождении неизвестных из системы (8). Поскольку матрица системы имеет треугольный вид, можно последовательно, начиная с , найти все неизвестные.

Действительно, и т. д. Общие формулы обратного хода имеют вид

2. Расчетные формулы. При реализации на ЭВМ прямого хода метода Гаусса нет необходимости действовать с переменными . Достаточно указать алгоритм, согласно которому исходная матрица А преобразуется к треугольному виду (9), и указать соответствующее преобразование правых частей системы. Получим эти общие формулы. Пусть осуществлены первые k—1 шагов, т. е. уже исключены переменные . Тогда имеем систему

+... ,

+... ,

….

,

…. (11)

,

Рассмотрим k-e уравнение этой системы , и предположим, что Поделив обе части этого уравнения на получим (12)

где ;

Далее, умножим уравнение (12) на и вычтем полученное соотношение из i-ro уравнения системы (11), где i = k + 1, k + 2, ..., m. В результате последняя группа уравнений системы (11) примет вид

,

….

,

где ,

Таким образом, в прямом ходе метода Гаусса коэффициенты уравнений преобразуются по следующему правилу:

, (13)

(14)

Вычисление правых частей системы (8) осуществляется по формулам

Коэффициенты и правые части хранятся в памяти ЭВМ и используются при осуществлении обратного хода по формулам (10).

Основным ограничением метода является предположение о том, что все элементы , на которые проводится деление, отличны от нуля. Число называется ведущим элементом на k-м шаге исключения. Даже если какой-то ведущий элемент не равен нулю, а просто близок к нему, в процессе вычислений может происходить сильное накопление погрешностей. Выход из этой ситуации состоит в том, что в качестве ведущего элемента выбирается не , а другое число (т. е. на k-м шаге исключается не , а другое переменное . Наиболее последовательно такая стратегия выбора ведущих элементов осуществлена в методе Гаусса с выбором главного элемента (см. § 3).

Подсчет числа действий. Подсчитаем число арифметических действий, необходимых для решения системы (2) с помощью метода Гаусса. Поскольку выполнение операций умножения и деления

на ЭВМ требует гораздо больше времени, чем выполнение сложения и вычитания, ограничимся подсчетом числа умножений и делений.

1. Вычисление коэффициентов , по формулам (13) требует

делений.

2. Вычисление всех коэффициентов по формулам (14) требует

умножений.

Таким образом, вычисление ненулевых элементов треугольной матрицы С требует

операций умножения и деления. При больших m это число действий

равно приблизительно

3. Вычисление правых частей по формулам (15) требует m делений, а нахождение по формулам (16) умножений. Следовательно, вычисление правых частей преобразованной системы (8) требует действий умножения и деления.

В итоге для осуществления прямого хода метода Гаусса необходимо выполнить

действий, из которых основное число действий (порядка )

приходится на вычисление элементов матрицы С.

4. Для осуществления обратного хода метода Гаусса по формулам (10) требуется

умножений.

Итак, для реализации метода Гаусса требуется выполнить действий умножения и деления. Подчеркнем, что основное время расчета затрачивается на осуществление прямого хода. Для больших m число действий умножения и деления в методе Гаусса близко к .. Это означает, что на вычисление одного неизвестного тратится в среднем действий.

По затратам времени и необходимой машинной памяти метод Гаусса пригоден для решения систем уравнений (2) общего вида с числом неизвестных m порядка 100.

Метод Гаусса с выбором главного элемента

Основная идея метода состоит в том, чтобы на очередном шаге исключать не следующее по номеру неизвестное, а неизвестное, коэффициенты при котором являются наибольшими по модулю. Т.о., в качестве ведущего элемента здесь выбирается главный,т.е. наибольший по модулю элемент. Есть система , . Предположим, что => на первом шаге исключаем переменную . Это метод Гаусса с выбором главного элемента по строке.

Предположим, что => тогда перепишем систему ,

и к новой системе на первом шаге применим обычный м-д Гаусса. Это м-д Гаусса с выбором глвн. эл. по столбцу.