10. Оценка скорости сходимости итерационных методов в случае симметричных матриц a и b
Рассматривается СЛУ и стационарный итер-й процесс:
(1)
(2)
Рассматривается
симметрическая матрица Q, тогда
.
Лемма 1. Если
Q - симм-я матрица и
,
то
.
Д-во. Пусть
и
- соответствующий собственный вектор.
Тогда
Лемма д-на.
Лемма 2. Если
,
то
.
Такую B далее будем обозначать
Д-во. Из лин.
алгебры известно,
,
приводящая A к диагональной форме.
Обозначим
Обозначим
.
Тогда
Т.к.
Лемма д-на
Лемма 3. Если
матрица
то
Д-во.
,
Лемма д-на.
Лемма 4. Если
матрица
то
Д-во аналогично лемме 3.
Пусть A -
симметрическая, положительно определенная
матрица, тогда будем обозначать
,
Теорема. Пусть
A и B - симметрические положительно опр-е
матрицы и выполнено
,
(3)
где
и
.
(4)
Тогда итерационный
процесс (2) сходится и для погрешности
справедлива оценка
(5)
и
,
(6)
где
(7)
Д-во.
(8)
Обозначим
.
Умножим (4) на
скалярно:
(9)
Оценим сверху
величину
.
Аналогично оценивается снизу
.
Т.е.
.
.
(10)
Обозначим
Рассмотрим
Из (10)
,
т.е.
Обозначим
,
,
(11)
.
Аналогично
.
,
(12)
(13)
Теорема д-на.
11. Многочлен Чебышева с нормировкой по старшему коэффициенту.
Рассмотрим
следующую задачу: среди всех многочленов
степени
со старшим коэффициентом
найти такой многочлен
,
для которого величина
,
является минимальной. Покажем, что
функция
(1)
является многочленом Чебышева.
Рассмотрим
функцию
(2)
Тогда
Рассмотрим
величину
,
т.е.
(3)
Отсюда
получается, что
- многочлен степени n со старшим
коэффициентом
,
n=1, 2, … Следовательно,
- многочлен степени n со старшим
коэффициентом 1.
Корни мнгч.
расположены в точках
,
,
k=0, 1, …, n-1 (4)
Максимум и
минимум мнгч.
достигаются, когда
,
,
в точках экстремума:
,
k=0, 1, …, n (5)
причем
,
(6)
Следовательно,\\
,
(7)
Обозначим
- норма функции Q(x).
Многочлен называется наименее уклоняющимся от нуля, если его норма минимальна.
Теорема.
Среди всех мнгч-в
n-й степени со старшим коэф-том =1 мнгч.
Чеб.
наименее уклоняется от нуля, т.е для
.
Д-во:
Предположим,
что
.
Тогда выполнится
.
Введем мнгч.
.
Этот мнгч степени < n. В точках максимума
и минимума
(т.е в точках
)
принимает одно и то же значение
.
Поэтому в этих точках
имеет тот же знак, что и
.
Таких точек n+1 штук. Знаки
чередуются =>
имеет n перемен знаков => n нулей. Но
т.к.
степени < n имеет n нулей, то
,
что противоречит предположению =>
,
т.е. норма не может быть меньше. ЧТД
Рассмотрим
произвольный промежуток [a; b]. Сделаем
замену переменных [a; b]->[-1; 1] Центр
переносим в начало координат:
.
Потом сожмем или растянем интервал в
зависимости от a и b:
=>
.
Введем мнгч
Чебышева
.
Нормируем мнгч, т.к. если
,
то
,
и в нашем случае
,
т.е. разделили мнгч на
,
чтобы коэф-т при старшем члене стал
равным 1 =>
.
А если выразим x через t, то получим
. Тогда получим корни и точки экстремумов
многочлена:
,
k=0, 1, …, n-1
+
\,
k=0, 1, …, n
и
