6.Итерационные методы решения линейных уравнений. Метод Якоби, Зейделя.

Рассмотрим обычную систему линейных уравнений:

(1)

(2)

Если (B-A) - сравнительно малая величина можно решать:

- Итерационный метод без параметра.

Рассмотрим:

(2)

Иногда удобно на каждом шагу менять и :

(3)

(3) - каноническая форма одношагового итерационного метода

Если - то метод называю стационарным.

Если то метод называют явным.

Если - то метод называется - метод простых итераций, а если - то метод называется - метод Ричардсона.

Обозначим: ,

где - нижнетреугольная( ), - диагональнаяl( ), - верхнетреугольная( )

1) Метод Якоби

Частный случай стационарного процесса

В координатном виде:

, m - размерность A

2) Метод Зейделя

Частный случай стационарного процесса

В координатах

, ,

7.Достаточное условие сходимости стационарных итерационных методов.

(1)

(2)

Говорят что итерационный метод (2) сходится, если .

Будем считать что решение задачи (1) ищется в линейном вещественном пространстве , со скалярным произведением , матрица A вещественная.

Опр. (положительно - определенная), если ,

Лемма. Если , то

Док-во: Пусть матрица -симметричная, тогда существует ортогональная система собственных векторов { }, такая что , где ,а и , тогда ,

тогда, , замечаем, что для любого , т.е.

тогда , где .

В общем случае, матрица симметрична и для нее справедливо . Т.е. . если

Примечание: - транспонированная. значит

Теорема. Пусть - симметричная, положительно-определенная матрица, и выполнена формула

, тогда итерационный процесс (2) сходится.

Док-во: Пусть , тогда удовлетворяет .

Докажем, что , введем величину

,

,

последовательность не возрастает и ограничена снизу сходится

отсюда .

Обозначим , т.к.

Теорема доказана.

8. Сходимость метода Якоби, Зейделя, метода простых итераций.

Следствие 1. Пусть А - симметричная, положительно-определенная матрица с диагональным преобладанием, т.е. , тогда метод Якоби сходится.

Док-во. Необходимо доказать, что , где

т.е. надо доказать, что

Следствие 2. Пусть А - симметричная, положительно-определенная матрица и , тогда метод верхней релаксации сходится при . В частном случае метод Зейделя ( ).

Док-во. Необходимо доказать, что , где

т.к.

1) т.к.

2) т.е.

Доказано.

Рассмотрим вопрос о сходимости метода простых итераций (1) с симметричной положительно-определенной матрицей . Метод сходится при условии (2).

Какие ограничения на параметр накладывает условие(2)? Пусть ,— собственные значения матрицы , рас­положенные в порядке возрастания. Условие (2) эквивалентно тому, что все собственные значения матрицы положитель­ны. Достаточно потребовать положительности минимального соб­ственного числа этой матрицы, равного . Таким образом, итерационный метод (1) сходится, если (3), где -максимальное собственное число матрицы .

Условие (3) необходим для сходимости (1), т.е. если нарушено (3), то найдется начальное приближение , при котором не стремится к нулю при .

Докажем последнее утверждение. Возьмем в качестве началь­ного приближения вектор , где — точное решение зада­чи , а , — собственный вектор матрицы , отвечающий собст­венному числу , т. е. . При таком выборе началь­ного приближения имеем . Т.к. удовлетворяет однородному уравнению и получим

и, следовательно, .

Если , то не стремится к нулю при . Если же , то и при . Таким образом, условие (3) необходимо и достаточно для сходимости метода простых итера­ций (1).