48. Метод Галеркина.
Опишем этот
метод применительно к решению операторного
уравнения
в
гильбертовом пространстве F(Ф(L)
плотно в F), где
симметричный
и положительно определенный оператор
и Ф(
Введем
последовательность конечномерных
подпространств
.
Тогда приближение по Галеркину ищется
в виде
,
где
выбираются так чтобы невязка
была
ортогональна всем элементам из
,
т.е.
(
s=1,…,
Получаем
систему
После нахождения
приближенное
решение легко находим по (2).
Сходимость
приближенных решений (2). Если u
–решение задачи (1) существует и
единственно в F и оператор
вполне
непрерывен в F, то
последовательные приближения
,
получаемые методом Галеркина, сходятся
в F к точному решению u.
Рассмотрим
одну из модификаций метода Галеркина,
где
не
является симметричным и положительно
определенным. Пусть существует
ограниченный оператор
.
Тогда (1) эквивалентно
(2)
(
и
нормой
Метод Галеркина
для уравнения (2). Пусть
-конечномерные
подпространства из
с базисами
Приближенное решение ищется в виде
,
где неизвестные
определяется
из системы линейных уравнений
Алгоритм построения базисных функций:
Пусть область
значений оператора K и
функции f принадлежат
F(K,f)⊆F.
Зададим в F(K,f)
систему координатных функций
,
полную в F(K,f).
Построим
