46. Вариационные методы в математической физике.

Рассмотрим функционал

-заданная функция, непрерывная вместе с производными до второго порядка.

Возьмем функцию .

Найдем условие того, чтобы функционал в -окрестности имел экстремум.

Рассмотрим

Разложим в ряд Тейлора по параметру :

– вариация 1-го порядка функционала

Проинтегрируем по частям

Чтобы имел экстремум должна удовлетворять: - уравнение Эйлера

В качестве примера рассмотрим задачу Для задачи (1)

Где и достаточно гладкие функции.

Рассмотрим вариационный функционал

Уравнение Эйлерадля этого функционала:

Тогда из соотношения (3)

⇨

Это значит, что если каждая функция из области определения функционала будет удовлетворять условию (5), то экстремум функционала (2) на таких функциях будет доставлять решение задачи (1).

Пусть

Пространство функций, удовлетворяющих (6), образует Ф(A)⇨ (4) перепишем

Au=f, Ф(A)

Рассмотрим

Пусть . Тогда уравнением Эйлера будет Au=f, Ф(A) (8),соответствующая вариационной задаче (9)

Найдем условия, при которых задачи (8) и (9) эквивалентны.

Рассмотрим Au=f, где А- линейный, положительный, самосопряженный оператор с областью определения Ф(A).

Если существует решение (8), то оно доставляет минимум функционалу

Докажем это, пустьu₀ – решение (1) ⇨Au₀=f.

Пусть η

Т.к. А-самосопр опреатор, то

Т.к. А>0 ⇨ . Это значит, что минимум функционала достигается на решении . Имеет место и обратное утверждение: элемент гильбертова пространства, доставляющий минимум функционалу Jи принадлежащий , является решением Au=f

47. Метод Ритца.

(1)

Пусть выполняется:

(2)

Поставим теперь в соответствие исходной задаче вариационную задачу на нахождение элемента , на котором достигается минимум функционала

(3)

Из (2) видно, что область определения .

Введем скалярное произведение:

= = и соответствующую норму

полное нормированное пространство, порожденное оператором L.

Если

Наиболее известным методом решения задачи (4) является метод Ритца. Опишем его применительно к решению операторного уравнения Lu=f(5), гдеL – самосопряженный, положительно определенный оператор. (5) равносильно нахождению элемента гильбертова пространства , реализующего минимум функционала

Введем последовательность конечномерных подпространств , которые определяются бесконечной последовательностью .

{ }- полна в , если

(т.е. может быть с любой степенью точности аппроксимирован элементами пространств )

В предложенной постановке метод Ритца формулируется следующим образом:

Требуется найти элемент минимизирующий в пространстве .

Если L положительно определен в и { полна в последовательность приближений { по Ритцу сходится в к решению uуравнения (5).

Если базис пространства , то задача нахождения равносильна нахождению коэффициентов разложения из условия минимума функционала J. Подставляя разложение в функционал J и приравнивая к 0 , приходим к системе линейных алгебраических уравнений , где

при положительно определна.