38. Оператор 2 разностной производной на отрезке. Собственные функции и собственные значения оператора
Рассмотрим разностное уравнение:
(1)
На
сетке
Соответствующая краевая задача:
(2)
где
Рассмотрим
множество векторов
Определим оператор A:
Система
(3):
,
где
Оператор
A
задан на множестве H-пространство
функций, заданных на
и
=0 на
(6)-оператор
2 разностной производной
Необходимо найти собственные значения и собственные функции оператора А
Или
Разностная задача (8) является аппроксимацией задачи
ищем
собственные функции задачи (8) в виде
Поставим
(11) в (9) =>
Функция (11) является собственной функцией оператора (6), если
=>
При
получим N-1 различных собственных
значений и собственных функций
Свойства:
Введем
Покажем
что
Оператор (6) самосопряженный => его собственные функции ортогональны
=>
39.Разностный оператор Лапласа. Собственные значения и собственные функции
(1)
Разностный оператор Лапласа:
Сетка
Введем
:
Покажем, что A- самосопряженный
Где
=>
Т.к. y и v симметрично =>
Собственные числа и собственные функции
Обозначим
,
Имеем
(
)
(
)
собственных функций образующих в H
ортогональный базис
Если
-ортогональны
Свойства:
40. Устойчивость и сходимость разностной аппроксимации уравнения Пуассона.
Устойчивость по граничным условиям.
Рассмотрим задачу Дирихле для уравнения Пуассона
(1)
в
прямоугольнике
с границей
.
Была введена сетка
,
где
,
и построена разностная схема второго
порядка аппроксимации
(2)
Здесь
множество внутренних узлов сетки
и
— множество граничных узлов:
,
.
1) Метод простых итераций.
Общий вид одношагового итерационного метода:
Пусть
Оптимальный выбор числа таков:
,
где
,
.
Тогда
.
Следовательно,
.
Итерационный процесс примет вид:
. (3)
Тогда
, (4)
где
невязка.
2) Метод Чебышева.
Явный метод Чебышева. Итерации вычисляются по следующей формуле:
, (5)
где
,
где
; 
; 
; 
За
начальное приближение можно взять
произвольное
3) Метод сопряжённых градиентов.
Рассмотрим итерационный процесс:
,
где
заданное
начальное приближение, а
вычисляется
по одношаговой формуле
,
. (6)
Пусть
.
Введём обозначения:
невязка;
поправка.
Тогда
при выборе
величина
будет минимальной.
Оценки.
) Для метода простых итераций поставленных условиях справедлива оценка:
,
(7)
где
.
Число итераций, для достижения точности равна
Так
как при
верно, что
,
то
Значит:
2) Для методы Чебышева и метода сопряжённых градиентов верна та же оценка (7), но при
.
Число итераций, для достижения точности равна
.
Тогда
и
45. Асимптотическая устойчивость разностных схем.
Решение:
В
данном случае СФ для
–
,
При
медленнее всех
член
с
Потребуем,
чтобы для решения задачи (3) выполняется
оценка:
где
Свойство
(4) – асимптотическая устойчивость
Для
решения задачи (3) справедливо:
где
– СЗ оператора второй разностной
производной:
Устойчивость
по начальным данным обеспечивается
Лемма 1
Если
и
и
,
Доказательство
Из
(5), (6)
,
Из
(5), (6)
Следствие 1
Если
выполнены условия Леммы 1
для
решения (3) выполняется
,
где
(следует из (7), (6)
Следствие 2
Если
выполнены условия Леммы 1 и
не зависит от
схема
(3) асимптотически устойчива.
Доказательство
Т.
к.
необходимо,
то достаточно показать, что
,
где
неравенство
является
условием асимптотической устойчивости
схемы (3)
Если
явная
схем устойчива асимптотически при
.
При
чисто
неявная схема асимптотически устойчива
.
При
асимптотически
устойчива при
