32. Метод Рунге-Кутта второго порядка. Семейство методов второго порядка. Методы третьего и четвертого порядка.

,

или (1)

(1) - метод Рунге-Кутта второго порядка

Рассмотрим ,

,

То есть (1) - метод второго порядка аппроксимации

Общий вид:

…...............

, где

- метод Рунге-Кутта m-го порядка, где выбираются из соображений точности сходимости

1. Методы второго порядка

Положим:

, ,

, ,

=0, ,

I.

Тогда имеем

II.

Тогда имеем

2. Методы третьего порядка.

3. Методы четвертого порядка.

33. Доказательство сходимости метода Рунге-Кутта.

Докажем, что методы Рунге — Кутта сходятся и порядок их точности совпадает с порядком аппроксимации.

Выпишем уравнение, которому удовлетворяет погрешность . Основное уравнение метода Рунге—Кутта имеет вид:

Где

Тогда уравнение (8) примет вид

Где

Погрешность (по определению) аппроксимации метода (8), (9) на решении исходной задачи (1) (невязка) и

Будем рассматривать (11) как уравнение для погрешности метода. Оно выполняется для , Поскольку начальные значения задаются точно, , величина равна нулю. Будем считать, что задача (1) решается на ограниченном отрезке времени и, следовательно, при любых и выполняется неравенство .

Предположим, что в рассматриваемой области изменения переменных функция удовлетворяет условию Липшица по с константой , не зависящей от . При этих предположениях оценим сначала функцию , а затем и решение , уравнения (11).

Из выражений (9), (10), используя условие Липшица, получим

Обозначим

Тогда согласно предыдущему неравенству будем иметь

или, что то же самое,

Лемма 1. Из неравенств (15) при следуют оценки

где .

Доказательство. Оценка (16) при совпадает с оценкой (15) для . Пусть неравенство (16) выполнено для . Покажем, что оно выполнено и для . Из (15) при получим

Согласно предположению индукции имеем

Следовательно,

Что и требовалось.

Оценим теперь функцию , определенную согласно (13). Из (14), (16) следует неравенство

Где .

Итак, окончательно имеем следующую оценку для :

Таким образом, при возрастании погрешности величина растет не быстрее первой степени погрешности.

Теперь уже несложно оценить погрешность . Из (11) имеем

Откуда, учитывая (17) получаем неравенство

Где

Заметим, что при . Если , то , т. е. ограничена равномерно по . В качестве с большим загрублением можно взять .

Из неравенства (18) следует оценка

которую легко доказать по индукции.

Загрубляя оценку (20) и учитывая, что , получим

Где .

Таким образом,доказана

Теорема 1. Пусть правая часть уравнения (1) удовлетворяет условию Липшица по второму аргументу с константой . Пусть — невязка метода Рунге — Кутта (2), определенная согласно (12). Тогда для погрешности метода при справедлива оценка

Где

Следствие. Если метод Рунге — Кутта аппроксимирует исходное уравнение, то он сходится при , причем порядок точности совпадает с порядком аппроксимации.

Доказательство этого утверждения сразу следует из оценки (21) и замечания о равномерной ограниченности .

34. Многошаговые разностные методы. Погрешность аппроксимации метода.

,

Рассмотрим

Определение. m-шаговым разностным методом называется система разностных уравнений вида:

, где

Если , то метод - явный:

В случае неявного метода:

Метод Адамса.

,

Рассмотрим погрешность аппроксимации:

Необходимо:

,

Имеем уравнений относительно неизвестных

,

Т.е. наибольший порядок аппроксимации