29. Метод Ньютона в случае кратных корней. Односторонние приближения по методу Ньютона.

Кратные корни. Говорят, что х, является корнем кратности р, если

Пусть , где x – корень кратности p для f(x)=0 (1)

(2)

Пусть .

Теорема.

Пусть – корень кратности p для ур-я (1) и в окрестности ,

. Пусть и ,

, и . Тогда если , то метод (2) при сходится и .

Док-во.

раскладываем до порядка р и остаточный член записываем в форме Лагранжа =>

(3)

(4)

=> (5)

Подставляем (3), (4) в (5) и делим на .

, где

…

, чтд.

Односторонние приближения.

Если в окрестности корня производная ф-и f(x) сохраняет знак и монотонна, то либо монотонно убывает, либо монотонно возрастает.

Пусть на [a,b] ур. (1) имеет единственный корень и f(x) дважды непрерывно дифференцируема.

Теорема 1. либо итерационный процесс (2) сходится при p=1 к решению ур. (1) монотонно убывая, если взять .

Док-во.

Пусть

. (рисунок: на [a,b] график ф-и монотонно возрастает)

=> , где . Т.к. , то монотонна => =>

=> монотонно убывает и ограничено снизу => сходится к . Если последовательность сходится, то из итерац. процесса видно, что удовл. ур. (1) f( )=0. Т.к. решение ур. 1 единтсвенно, то .

Теорема 2. либо последовательность сходится монотонно возрастая к решению (1), если взять .

30. Итерационные методы решения снлу. Сходимость метода простых итераций

Рассматривается система нелинейных уравнений:

(1)

Будем рассматривать с-му (1) как операторное уравнение на линейном пространстве H размерности m ,

Тогда исходная сумма запишется в виде , (2)

где

Многие одношаговые итерационные методы для решения си­стемы (2) можнозаписать в виде , (3)

n-номер итерации,

Если , то метод наз-ся стационарным. Если , то он наз-ся явным.

(4)

Итерационный процесс для решения (3) называется внешним, для (4) – внутренним

Сходимость стационарного процесса.

(5)

(6)

Опр. x* называется неподвижной точкой отображения S, если , т.е. является реш-ем (6) и является решением (2)

Опр. Отображение S наз-ся сжимаемым на множестве с коэфф-м сжатия q, если

Теорема. Пусть оператор S определен на множестве и является сжимающим оператором на этом множестве с коэффи­циентом сжатия q<1, причем

. Тогда в U_r(a) оператор S имеет единственную неподвижную точку x* и итерационный метод (5) сходится к х* при и справедлива оценка

31. Производная от оператора. Метод Ньютона для систем нелинейных уравнений.

Определение 1. Оператор называется дифференцируемым по Фреше в точке , если линейно ограниченный оператор такой, что:

,т.е.

, где

В качестве оператора выступает вектор .

В данном случае производная Фреше будет являться градиентом.

Определение 2. Аналогом производной по направлению является производная Гато:

Пусть - вектор-функция. Рассмотрим:

,

Метод Ньютона - частный случай двухслойного итерационного процесса при , , т.е.

(1)

Теорема. Пусть в шаре оператор дифференцируем по Фреше, причем производная удовлетворяет условию Липшица: и . Если начальное приближение таково, что , где , , , то итерационный процесс (1) сходится к единственному решению операторного уравнения с оценкой .

Док-во:

Покажем, что .

Из условия Липшица имеем:

Пусть верно, что и ,

Тогда и

Т.е.

Докажем фундаментальность .

(2)

-фундаментальная сходящаяся. Обозначим через её предел. Т. к. ,то

Докажем, что - решение уравнения :

Переходя в оценке (2) к пределу при , получим:

Доказано.