20. Интерполяция кубическими сплайнами.

Сплайн-функцией или сплайном называют кусочно-полиномиальную функцию, определенную на отрезке и имеющую на этом отрезке некоторое число непрерывных производных.

Преимуществом сплайнов перед обычной интерполяцией является, во-первых, их сходимость и, во-вторых, устойчивость процесса вычислений.

Построение кубического сплайна.

Пусть на задана не­прерывная функция . Введем сетку

обозначим .

Сплайном, соответствующим данной функции и данным узлам , называется функция , удовлетворяющая следующим условиям:

а) на каждом сегменте функция является многочленом третьей степени;

б) функция , а также ее первая и вторая производные непрерывны на ;

в) .

Последнее условие называется условием интерполирования, а сплайн, определяемый условиями а)—в), называется также интерполяционным кубическим сплайном.

На каждом из отрезков , будем искать функцию в виде многочлена третьей степени

(1)

где коэффициенты, подлежащие определению. Пояс­ним смысл введенных коэффициентов. Имеем

,

,

поэтому

.

Из условий интерполирования , полу­чаем, что

.

Доопределим, кроме того, .

Далее, требование непрерывности функции s(x) приводит к условиям

.

Отсюда, учитывая выражения для функций , получаем при уравнения

.

Обозначая , перепишем эти уравнения в виде

. (2)

Условия непрерывности первой производной

,

приводят к уравнениям

. (3)

Из условия непрерывности второй производной получаем уравнения

. (4)

Объединяя (2) — (4), получим систему уравнений относительно неизвестных .

Два недостающих уравнения получают, задавая те или иные граничные условия для . Предположим, например, что функция удовлетворяет условиям . Тогда естественно требовать, чтобы . Отсюда получаем , т. е. .

Заметим, что условие совпадает с уравнением (4) при , если положить . Таким образом, приходим к замкну­той системе уравнений для определения коэффициентов кубического сплайна:

, (5)

, (6)

. (7)

Убедимся в том, что эта система имеет единственное решение. Исключим из (5) — (7) переменные , и по­лучим систему, содержащую только . Для этого рассмотрим два соседних уравнения (7):

,

и вычтем второе уравнение из первого. Тогда получим

.

Подставляя найденное выражение для в правую часть уравнения (6), получим

. (8)

Далее, из уравнения (5) получаем

и, подставляя эти выражения в (8), приходим к уравнению

.

Окончательно для определения коэффициентов получаем си­стему уравнений

, (9)

.

В силу диагонального преобладания система (9) имеет единственное решение. Так как матрица системы трехдиагональная, решение легко найти методом прогонки. По найденным коэффициентам коэффициенты и определяются с помощью явных формул

. (10)

Теорема.

Если , то имеют место следующие оценки:

,

,

.

21. Скорость процесса интерполяции кубическими сплайнами.

От ф-и f(x) требуем . Предположим, что выполнены ограничения (граничные усл.) и такие же условия для сплайнов. Обозначим на [a,b],

Пусть - кубический сплайн, построенный для ф-и f(x) на сетке

Тогда в следующей теореме приведены оценки погрешности интерполяции для

Теорема. Для справедливы оценки:

Из этих оценок следует, что при h->0 (т.е.при ) последовательности сходятся соответственно к ф-ям .