5.3. Решение нелинейных алгебраических уравнений и аппроксимация функций

Система MATLAB позволяет значительно проще, чем на известных языках программирования решать системы нелинейных (алгебраических уравнений) и выполнять аппроксимацию таблично заданных функций.

Пример 8. Решить уравнение с начальным приближением x₀ = 5 и c выводом итераций на экран:

Решение задачи:

function ex1

options = optimset(' Display ',' iter ');

[x, fval] = fzero(@f, 5, options)

function y = f(x)

y = x.^3-2*x-5;

PS: Первые 3 оператора – основная программа, 2 последних оператора – это функция, определяющая зависимость при различных значениях х.

Ниже приведены краткие описания функций MATLAB, используемые при решении задачи.

fzero (@имя функции, x₀, options) – поиск нуля функции одной переменной. Решение ищется в окрестности заданной точки x₀ путем отыскания интервала, где функция меняет знак. Если такой интервал не находится, то возвращается Inf или NaN. Параметр options может задавать вывод промежуточных результатов (итераций) на экран и точность расчета.

optimset (' Display ',' iter ') – функция для вывода итераций на экран.

[x, fval] - выводит искомое решение и значение функции, соответствующее этому решению.

Более подробно ознакомиться с используемыми функциями можно по HELP MATLAB.

Пример 9. Решить систему уравнений:

(5.1)

с начальными приближениями x₀ = 2,5; y₀ = 0,5 и c выводом итераций на экран.

Для решения правые части уравнений переносим в левые части

, (5.2)

так, чтобы в правых частях остались нули. Затем ищем минимум функции, состоящей из суммы этих уравнений, возведенных в квадрат: . Так как сумма квадратов всегда положительное число, то минимум функции не может быть меньше 0, а достижение значения f = 0 означает, что величины x и y , соответствующие этому значению, достигают искомых решений системы (5.2).

Решение задачи:

function ex2

options = optimset (' Display ',' iter ');

[x, fval] = fminsearch (@eq1, [2.5, 0.5], options)

function f = eq1(x)

f = (x(1).^2 + x(2).^2 - 9).^2 + (x(1) + sin(x(2)) - 3).^2

PS: Между неизвестными в уравнениях (5.1) и переменными программы имеется соответствие: x = x(1), y = x(2).

Функция MATLAB, используемая при решении задачи:

fminsearch (@имя функции, [начальные приближения переменных], options) – функция поиска минимального значения функции многих переменных.

Аппроксимация функции

Аппроксимация таблично заданной функции полиномом n-ой степени выполняется по методу наименьших квадратов (см. пункт 2.4).

Пример 10. Выполнить аппроксимацию точечно заданной функции x = 0 до 0.7 с шагом 0.1, y = 0.22 0.428 0.604 0.74 0.84 0.91 0.95 0.98 полиномом 2-ой степени. Построить графики точечно заданной функции и аппроксимирующего полинома:

Решение задачи:

x=(0:0.1:0.7)' % массив x состоит из 8 чисел

y=[0.221 0.428 0.604 0.74 0.84 0.91 0.95 0.98]' % массив y состоит из 8 чисел

p=polyfit(x,y,2)

f=polyval(p,x)

table=[x y f y-f]

plot(x,y,'k*',x,f,'-g' )

xlabel('coordinata x')

ylabel('coordinata y’)

title('Grafiki y(x), f(x)')

PS: Количество чисел в массивах x и y должно быть одинаковым; table – имя массива, сформированного из 4-х векторов: x, y, f и (y-f). Всего в этом массиве 8 4 = 32 числа. Массив f также содержит 8 чисел

polyfit (x, y, степень полинома) - функция находит коэффициенты a_i полинома p(x) степени n, который аппроксимирует заданную функцию y(x):

p(x) = a₁xⁿ + a₂x^{n – 1} + … + a_nx + a_n+1

polyval(p, x) - функция для вычисления значений полинома p в заданных точках x.