Задача 4

Определить план перевозок продукции из трех пунктов отправления в пять пунктов назначения так, чтобы суммарные транспортные издержки были минимальными.

Запас, потребность и стоимость перевозки 1 единицы продукции приведены в таблице:

Пункты отправления	Пункты назначения					Запас груза ( )
	B1	B2	B3	B4	B5
A1	10	19	7	11	8	180
A2	8	12	15	6	5	240
A3	15	20	15	10	11	64
Потребность в грузе ( )	150	100	180	58	75

Начальный опорный план построить различными методами.

Решение

Проверим условие закрытости модели .

,

Условие закрытости модели не выполняется, поэтому надо вводить фиктивный пункт отправления А₄ с запасом груза в а₄=79 единиц продукции. Расходы на перевозку единицы продукции из пункта А₄ принимаем равными М (М – большое число). Составим распределительную таблицу закрытой модели задачи.

Начальный опорный план составим методом северо-западного угла.

bj ai	150		100		180		58		75
180		10		19		7		11		8
	1 50		30
240		8		12		15		6		5
			7 0		170
64		15		20		15		10		11
					1 0		54
79		М		М		М		М		М
							4		75

Таким образом, начальным опорным планом является

Составим начальный опорный план методом наименьшего элемента.

bj ai	150		100		180		58		75
180		10		19		7		11		8
	43				137
240		8		12		15		6		5
	107						58		75
64		15		20		15		10		11
			21		43
79		М		М		М		М		М
			79

Таким образом, начальным опорным планом является

Составим начальный опорный план методом Фогеля.

bj ai	150		100		180		58		75		I		II	III	IV	V
180		10		19		7		11		8	1		—	—	—	—
					180
240		8		12		15		6		5	1		1	1	—	—
	140		100
64		15		20		15		10		11	1		1	1	1	4
							58		6
79		М		М		М		М		М	0		0	0	0	0
	10								69
I	2		7		8		4		3
II	7		8		—		4		6
III	7		—		—		4		6
IV	M – 15		—		—		M – 10		M – 11
V	M – 15		—		—		—		M – 11

Таким образом, начальным опорным планом является

В качестве начального опорного плана выберем план Х₁. Любой опорный план должен загружать m + n – 1 = 4 + 5 – 1 = 8 клеток.

bj ai		150			100			180			58			75
180			10			19			7			11			8	u1 = 0
		4 3 –						137 +
240			8			12			15		–	6			5	u2 = –2
		107 +									58			75
64			15			20		–	15		+	10			11	u3 = 8
					21			43
79			М			М			М			М			М	u4 = M – 12
					79
v1 = 10	v2 = 12			v3 = 7			v4 = 8			v5 = 7

Для исследования составленного плана на оптимальность найдем потенциалы u_i и v_j поставщиков и потребителей. Для заполненных клеток таблицы должно выполняться условие

u_i + v_j = с_ij.

Полагая u₁ = 0, из условия u₁ + v₃ = 7 находим v₃ = 7. Аналогично находятся остальные потенциалы. Вычисляем оценки свободных клеток по формуле s_ij = с_ij – (u_i + v_j).

s₁₂ = 19 – (0 + 12) > 0;

s₁₄ = 11 – (0 + 8) > 0;

s₁₅ = 8 – (0 + 7) > 0;

s₂₂ = 12 – (–2 + 12) > 0;

s₂₃ = 15 – (–2 + 7) > 0;

s₃₁ = 15 – (8 + 10) = –3;

s₃₄ = 10 – (8 + 8) = –6;

s₃₅ = 11 – (8 + 7) = –4;

s₄₁ = М – (М – 12 + 10) > 0;

s₄₃ = М – (М – 12 + 7) > 0;

s₄₄ = М – (М – 12 + 8) > 0;

s₄₅ = М – (М – 12 + 7) > 0.

Среди оценок есть отрицательные, значит, опорный план оптимальным не является. Загрузим клетку (3; 4) c наибольшей по модулю отрицательной оценкой. Для этого построим для клетки (3; 4) замкнутый контур с вершинами в загруженных клетках. В вершинах контура, начиная с клетки (3; 4), расставляем поочередно знаки «+» и «–». Из поставок в отрицательных клетках контура выбираем наименьшую : . Осуществляем сдвиг величины = 43 по вершинам контура и получаем новый опорный план. При этом в клетку (1; 1) запишем нулевую поставку и будем считать эту клетку загруженной.

bj ai		150			100			180			58			75
180			10			19			7			11			8	u1 = 0
		0						180
240			8			12			15			6			5	u2 = –2
		150			+						1 5 –			75
64			15			2 0			15			10			11	u3 = 2
					21 –						43 +
79			М			М			М			М			М	u4 = M – 18
					79
v1 = 10	v2 = 18			v3 = 7			v4 = 8			v5 = 7

Исследование этого плана на оптимальность осуществляется аналогично.

s₁₂ = 19 – (0 + 18) > 0;

s₁₄ = 11 – (0 + 8) > 0;

s₁₅ = 8 – (0 + 7) > 0;

s₂₂ = 12 – (–2 + 18) = –4;

s₂₃ = 15 – (–2 + 7) > 0;

s₃₁ = 15 – (2 + 10) > 0;

s₃₃ = 15 – (2 + 7) > 0;

s₃₅ = 11 – (2 + 7) > 0;

s₄₁ = М – (М – 18 + 10) > 0;

s₄₃ = М – (М – 18 + 7) > 0;

s₄₄ = М – (М – 18 + 8) > 0;

s₄₅ = М – (М – 18 + 7) > 0.

Так как среди оценок есть отрицательная, то опорный план оптимальным не является. Загрузим клетку (2; 2) c отрицательной оценкой.

Осуществляем сдвиг величины = 15 по вершинам контура. Получим новый опорный план:

bj ai		150			100			180			58			75
180			10			19			7			11			8	u1 = 0
		0						180
240			8			12			15			6			5	u2 = –2
		150			1 5 +									7 5 –
64			15			20			15			10			11	u3 = 6
					6 –						58			+
79			М			М			М			М			М	u4 = M – 14
					79
v1 = 10	v2 = 14			v3 = 7			v4 = 4			v5 = 7

s₁₂ = 19 – (0 + 14) > 0;

s₁₄ = 11 – (0 + 4) > 0;

s₁₅ = 8 – (0 + 7) > 0;

s₂₃ = 15 – (–2 + 7) > 0;

s₂₄ = 6 – (–2 + 4) > 0;

s₃₁ = 15 – (6 + 10) = –1;

s₃₃ = 15 – (6 + 7) > 0;

s₃₅ = 11 – (6 + 7) = –2;

s₄₁ = М – (М – 14 + 10) > 0;

s₄₃ = М – (М – 14 + 7) > 0;

s₄₄ = М – (М – 14 + 4) > 0;

s₄₅ = М – (М – 14 + 7) > 0.

Так как среди оценок есть отрицательная, то опорный план оптимальным не является. Загрузим клетку (3; 5) c наибольшей по модулю отрицательной оценкой.

Осуществляем сдвиг величины = 6 по вершинам контура.

bj ai		150			100			180			58			75
180			10			19			7			11			8	u1 = 0
		0						180
240			8			12			15			6			5	u2 = –2
		150			21									69
64			15			20			15			10			11	u3 = 4
											58			6
79			М			М			М			М			М	u4 = M – 14
					79
v1 = 10	v2 = 14			v3 = 7			v4 = 6			v5 = 7

s₁₂ = 19 – (0 + 14) > 0;

s₁₄ = 11 – (0 + 6) > 0;

s₁₅ = 8 – (0 + 7) > 0;

s₂₃ = 15 – (–2 + 7) > 0;

s₂₄ = 6 – (–2 + 6) > 0;

s₃₁ = 15 – (4 + 10) > 0;

s₃₂ = 20 – (4 + 14) > 0;

s₃₃ = 15 – (4 + 7) > 0;

s₄₁ = М – (М – 14 + 10) > 0;

s₄₃ = М – (М – 14 + 7) > 0;

s₄₄ = М – (М – 14 + 6) > 0;

s₄₅ = М – (М – 14 + 7) > 0.

Так как среди оценок нет отрицательных. То полученный опорный план

является оптимальным.

По оптимальному плану минимальные суммарные затраты составляют:

f_min = 180·7 + 150·8 + 21·12 + 69·5 + 58·10 + 6·11 = 3703.

При этом плане перевозок пункт назначения В₂ недополучит 79 единиц продукции.