Вариант 14 Задача 1

В следующей задаче линейного программирования (ЗЛП) целевая функция содержит параметр a: на множестве , где , удовлетворяющем системе ограничений:

Требуется:

1. доказать, что данную ЗЛП можно решить графически;

2. привести задачу к стандартной задаче линейного программирования;

3. построить область допустимых решений;

4. определить, при каких значениях параметра a задача будет иметь:

1. бесконечное множество решений;

2. единственное решение;

3. не иметь решений;

5. при одном из значений параметра a, в случае, когда задача имеет бесконечное множество решений, решить ее графически и проверить выполнимость основных свойств решений ЗЛП.

Решение

1) Данную задачу можно решить графически, если в ее канонической записи присутствует не более двух свободных переменных, т. е. , где n — число переменных, r — ранг матрицы системы ограничений задачи.

В системе ограничений выразим базисные неизвестные , через свободные , :

Т. к. , то данную задачу можно решить графически.

2) Подставив выражения для и в целевую функцию и учитывая неотрицательность переменных, перейдем к следующей эквивалентной ЗЛП с двумя переменными:

Таким образом, эквивалентная ЗЛП с двумя переменными имеет вид:

3) Построим многоугольник решений. Построим прямые

Определим полуплоскости, в которых выполняются неравенства.

Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости, одна из которых содержит начало координат. Так как , то неравенство определяет ту из двух полуплоскостей, которая содержит начало координат. Аналогично можно установить, что неравенство также определяет полуплоскость, содержащую начало координат. Решением системы заданных неравенств является пересечение указанных полуплоскостей с учетом того, что многоугольник решений должен находиться в первой координатной четверти. Область допустимых значений выделена на рисунке жирной линией.

4) Вектор — вектор наискорейшего возрастания целевой функции (вектор градиентного направления).

1. В случае, когда вектор с будет перпендикулярен прямой ВС или линия уровня параллельна прямой ВС, то задача будет иметь бесконечное множество решений, принадлежащих отрезку ВС. Это произойдет в случае, если:

, , .

x₃

30 l₁

15 l₂

A B

Z = const

–2 O C

7,5 15 x₁

c –1

Z_min

Задача также будет иметь бесконечное множество решений, принадлежащих отрезку АВ, в случае, когда вектор с будет перпендикулярен прямой АВ ( ). Это произойдет в случае, когда первая координата вектора с равна 0, т. е. когда , т. е. когда .

2. Задача будет иметь единственное решение при всех значениях а, кроме 2 и 4.

3. Значения параметра, при котором данная задача не имеет решений, нет.

1. Решим задачу графически при . В этом случае:

1. строим градиентный вектор ;

2. проводим перпендикулярно градиентному вектору с произвольную линию уровня , в данном случае строим прямую ;

3. перемещаем прямую в антиградиентном направлении до крайней точки встречи с областью , получаем бесконечное множество решений, принадлежащих отрезку ВС.

Найдем два опорных решения (точки В и С).

Значит, , .

Подставляя значения свободных переменных и в исходную ЗЛП, определим оптимальные значения оставшихся переменных , :

т. В: ; ; .

Значит, .

т. С: ; ; .

Значит, .

Опорные планы и являются невырожденными, так как нулевых координат у них ровно . По основной теореме линейного программирования: если ЗЛП достигает экстремального значения более чем в одной угловой точке, то этого значения ЗЛП достигает и в выпуклой линейной комбинации этих угловых точек.

, где .

.

Ответ: , где , .