8. Система лин.Ур-ний:

А_mxn*Х_nx1=В_mx1 <=> (ф.1)

(a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+ а_nx_n=b₁

(a₂₁x₁+a₂₁x₂+… +a_2nx_n=b₂

(….

(а_mx₁+а_2mx₂+… +а_mnх_n=b_m

В матричной форме система имеет вид АХ=В, где

(а₁₁ a₁₂ ... a_1n)

A= (a₂₁ a₂₂ ... a_2n)

ф.2(... ... ... ... );

(a_m1 a_m2 .. a_mn)

(x₁)

X= (x₂)

ф.3 (....);

(x_n)

(b₁)

B= (b₂)

ф.4(....);

(b_m)

называются собственно матрицей системы, матрицами-столбцами переменных и свободных членов.

Решение системы:а)методом обр.м-цы. Ур-е в матричной ф-ме имеет вид АХ+В. Найти обр.м-цу. И найдём Х по ф-ле Х=А^-1В,(т.е.х₁,х₂,х₃.)

б)По ф-ле Крамера. Найти определитель системы _^=|A|. Если он не=0,то сист.имеет единств.реш. Далее вычислить опред-ли м-ц _^1,_^2,_^3,полученных их м-цы А,заменой соотв-но 1-го,2-го и 3-го ст-цов столбцом своб.членов. Далее по ф-лам Крамера:х1=^1/_^, х2=^2/_^, х3=^3/_^.

Расширенной м-цей системы наз.м-ца (А|В),полученная из м-цы сист.А добавлением к ней ст-ца членов этой системы,т.е. (А|В)=(ф.2|ф.4)

Теорема Кронекера-Капелли. Сист.лин.ур-й совмест.тог.и т.тог,ког.ранг м-цы сист.А равен рангу расшир.м-цы (А|B) этой с-мы.

r<m – ур-я с-мы(строки расш.м-цы)зависимые;

r=m –ур-я с-мы (стр.расш.м.)независимые;

r(A)не=r(A|B)- с-ма несовм-ная;

r(A)=r(A|B)=r – с-ма совм-ная;

r<n – с-ма неопред.(бескон.мн.реш.);

r=n – с-ма опред-ная (единств.реш.)

Если у сист.ур-ния есть реш-е,то такая система совместна,если решения ур-я нет, то не совместная.

Если система лин.ур-й имеет единств.решение Х=(х₁,х₂,…х_n),то такая сист.наз.определённой. Если СЛУ имеет больше, чем одно реш-е,то такая сист.не определённая.

7. Метод Гаусса решения системы n линейных уравнений с п переменными. Понятие о методе Жордана – Гаусса.

Метод Гаусса – метод послед-го исключ.переменных.

Сначала(на 1-м шаге прямого хода Гаусса) из всех ур-ний,кроме 1-го исключается переменная х₁. Потом (на 2 шаге) из всех ур-й,кроме первых 2-х исключается переменная х₂ и т.д.,пока последнее ур-е не приобретёт вид:С _* Х_n=b_m, если ч-ло С=0, а b_m не=0,то с-ма не совместная,т.е.нет решений. Если С=0 и b_m=0,т.е. 0_*Х_n=0,то с-ма неопределённая,т.е. имеет бескон.мн.реш.,то с-ма совместно-определённая. В этом сл-е Хn=b_n/C

Полученное зн-е Х_n подстав.в предпосл.ур-е,находим Х_n-1 и тд.,пока не получ.все неизв-е.

Обратный ход Гаусса. Из м-цы ступенч.вида записывается ур-е. Далее,начиная с конца находим все переменные. Допустим Х₄. Подставляем в верхнее и нах-м Х₃ и т.д.

Метод Гаусса — Жордана исп-ся для реш.квадр.систем лин.ур-ний, нахождения обрат.м-цы, отыскания ранга м-цы. Метод явл-ся модификацией метода Гаусса. Назван в честь Гаусса и Жордана.

Теорема Кронекера-Капелли. Сист.лин.ур-й совмест.тог.и т.тог,ког.ранг м-цы сист.А равен рангу расшир.м-цы (А|B) этой с-мы.

r<m – ур-я с-мы(строки расш.м-цы)зависимые;

r=m –ур-я с-мы (стр.расш.м.)независимые;

r(A)не=r(A|B)- с-ма несовм-ная;

r(A)=r(A|B)=r – с-ма совм-ная;

r<n – с-ма неопред.(бескон.мн.реш.);

r=n – с-ма опред-ная (единств.реш.)

Если у сист.ур-ния есть реш-е,то такая система совместна,если решения ур-я нет, то не совместная.

Если система лин.ур-й имеет единств.решение Х=(х₁,х₂,…х_n),то такая сист.наз.определённой. Если СЛУ имеет больше, чем одно реш-е,то такая сист.не определённая.