Матрица Грама

Определение. Матрицей Грама для системы векторов называется симметричная матрица вида

,

где .

67

Утверждение. Скалярное произведение векторов и , заданных в базисе , вычисляется по фор­муле

,

где - матрица Грама для системы векторов .

Определение. Подмножество евклидова пространства Еⁿ вида

,

где - линейно независимые векторы, называется k-мерным параллелепипедом, построенным на векторах .

Утверждение. Объем k-мерного параллелепипеда, построенного на векторах , равен квадратному корню из определителя матрицы Грама для системы векторов .

Задачи

54. Построить матрицу Грама для системы векторов:

а) , ;

б) , , ;

в) , .

54. Вычислить скалярное произведение векторов и , заданных своими координатами в базисе , если

а) , , , ;

б) , , , , .

54. Вычислить длины векторов , и угол между ними, если даны следующие разложения по базису и ортонормированному базису :

а) , , , ;

б) , , , ;

68

в) , , , , .

54. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах:

а) , ; б) , ;

в) , .

54. Вершины треугольника заданы своими координатами: , , . Найти

а) длину медианы, проведенной из вершины ;

б) площадь треугольника ;

в) длину высоты, опущенной из вершины .

54. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах:

а) , , ;

б) , , .

54. Основание параллелепипеда, построенного на векторах , лежит в плоскости векторов . Найти высоту параллелепипеда, проведенную к основанию, если в ортонормированном базисе справедливо разложение , , .

55. Вершины пирамиды заданы своими координатами: , , , . Найти объем пирамиды, длину высоты, опущенной из вершины на основание , и угол наклона бокового ребра к плоскости основания.

56. В евклидовом пространстве Еⁿ под n-мерным единичным кубом понимается множество вида

,

где векторы образуют ортонормированную систему. Требуется

а) найти число диагоналей n-мерного куба;

б) найти число его диагоналей, ортогональных данной диагонали;

в) найти длину диагонали куба;

69

г) доказать, что любая диагональ куба образует равные углы со всеми его ребрами; найти этот угол и его предел при .

Унитарное пространство

Определение. Линейное пространство называется унитарным пространством, если каждой паре поставлено в соответствие комплексное число, которое называется скалярным произведением на , обозначается , и для любых и комплексных удовлетворяет следующим требованиям:

1) ;

2) ;

3) , причем равенство возможно лишь том случае, когда .

Утверждение. Комплексное линейное пространство

Uⁿ= ,

в котором скалярное произведение векторов задано равенством

,

является унитарным пространством.

Примеры

1. Векторы образуют ортонормированный базис в унитарном пространстве. Найти скалярное произведение , если

.

Решение. В рассматриваемом случае в соответствии со свойствами скалярного произведения в унитарном пространстве можно записать

2. В унитарном пространстве со скалярным произведением

70

вида построить ортонормированный базис по данному

.

Решение. Сначала проведём процедуру ортогонализации. В данном случае она аналогична описанной для евклидова пространства. Положим

.

Используя условия ортогональности, получим

.

Теперь отнормируем векторы :

Задачи

54. В унитарном пространстве Uⁿ вычислить скалярное произведение:

а) на ; б) на ;

в) на ; г) на .

54. Ортогональны ли векторы:

а) и ; б) и ;

в) и .

54. В унитарном пространстве Uⁿ вычислить норму вектора:

а) ; б) ; в) ; г) .

3.71. Построить матрицу Грама системы векторов:

а) , , ; б) , .

71

72. Векторы образуют ортонормированный базис пространства U². Найти скалярное произведение и , если

а) , ;

б) , .

72. Векторы образуют ортогональный базис пространства U². Найти и , если

а) , , , ;

б) , ,

, .

72. Ортонормировать систему векторов:

а) , ; б) , .

72. Показать, что линейное пространство

не будет являться унитарным, если в нем скалярное произведение на задать равенством .