5. Доказать, что

а) множество всех положительных чисел, в котором сумма произвольных чисел и вычисляется как , а про­изведение вещественного числа на произвольное поло­жительное число вычисляется как , является линей­ным пространством;

б) множество всех положительных функций, заданных на множестве , если сумма произвольных функций и вычисляется как , а произведение функции на число вычисляется как , является линей­ным пространством.

43

Линейная зависимость и независимость векторов

Определение. Система векторов называется линейно независимой, если равенство выполняется только при .

Утверждение. Система векторов линейно независима тогда и только тогда, когда ни один из этих векторов не является линейной комбинацией остальных векторов данной системы.

Определение. Система векторов называется линейно зависимой, если существуют числа , не равные нулю одновременно, при которых выполняется равенство .

Утверждение. Система векторов линейно зависима то­гда и только тогда, когда хотя бы один из этих векторов является линейной комбинацией остальных векторов данной системы.

Примеры

1. Являются ли линейно зависимыми (независимыми) векторы

Решение. По определению линейная зависимость или независимость векторов устанавливается исходя из условия равенства нулю линейной комбинации этих векторов

или в развёрнутом виде

Если эти равенства выполняются при условии, что хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля, то векторы линейно зависимы. Записанные равенства представляют собой однородную систему линейных уравнений относительно коэффициентов . Эта система имеет нетривиальное решение (т.е. решение, в котором не все

44

одновременно равны нулю) только при условии равенства нулю определителя системы. В рассматриваемом случае определитель системы равен

Таким образом система имеет лишь тривиальное решение и исходная совокупность векторов линейно независима.

2. При каких вектор линейно выражается через векторы

Решение. По условию задачи надо найти такие , при которых выполняется равенство

или в развёрнутом виде

Записанные соотношения представляют собой систему неоднородных линейных уравнений относительно - коэффициентов линейной комбинации. В соответствии с теоремой Кронекера-Капелли эта система совместна, если ранг основной матрицы системы равен рангу расширенной матрицы. Выпишем расширенную матрицу для заданных условий:

Сначала определим ранг основной матрицы. Видно, что отличные от нуля миноры второго порядка в матрице имеются, например, минор, стоящий в левом верхнем углу. Вычислим теперь минор третьего по-

рядка (определитель) основной матрицы

45

.

Следовательно, ранг основной матрицы равен двум. Таким образом рассматриваемая система будет совместна, если ранг расширенной матрицы

также будет равен двум. Для этого необходимо, чтобы второй минор третьего порядка расширенной матрицы был равен нулю, т.е.

откуда следует

Задачи

5. Зависимы ли векторы

а) , ;

б) , , ;

в) , , .

5. При каких значениях параметра зависимы векторы

а) , ;

б) , , ;

в) , , ;

г) , , .

5. Является ли вектор линейной комбинацией векторов , , ?

6. Является ли вектор линейной комбинацией векторов

46

и ?

5. При каких вектор линейно выражается через векторы , , ?

6. При каких вектор линейно выражается через векторы , , ?

7. Является ли линейно независимой система векторов в ли­нейном пространстве квадратных матриц данного порядка:

1. ;

2. , , .

5. Является ли линейно зависимой система векторов в линей­ном пространстве многочленов степени не выше 2:

а) , ; б) , , ;

в) , , .

5. Является ли линейно независимой система векторов в ли­нейном пространстве функций специального вида, заданных на указанном множестве:

а) при ;

б) при ;

в) , , при ;

г) , , при .

5. Доказать, что система векторов, содержащая нулевой век­тор, всегда линейно зависима.

6. Доказать, что система векторов линейно зависима, если хотя бы один из этих векторов является линейной комбина­цией остальных

47

векторов данной системы.

5. Доказать, что система векторов линейно независима, если ни один из этих векторов не является линейной ком­бинацией остальных векторов данной системы.