Координаты вектора

Определение. Координатами вектора в базисе назы­ваются числа , при которых выполняется равенство .

Определение. Матрицей перехода от базиса к базису называется матрица вида

где для каждого в -ом столбце стоят координаты вектора в базисе .

Утверждение. Координаты вектора в базисе и координаты этого же вектора в базисе связаны равенством

52

где - матрица перехода от базиса к базису .

Утверждение. Матрица перехода от базиса к бази­су и матрица обратного перехода от базиса к базису связаны равенством = .

Примеры

1. Найти координаты вектора в базисе , если известно

Решение. В соответствии с определением матрица перехода от базиса к базису есть

.

Обозначим координаты вектора в базисе через , а в базисе через . Искомые координаты связаны с известными координатами следующим соотношением:

.

Видно, что для получения координат необходимо вычислить матрицу, обратную . Используя стандартную процедуру (см. пример 1 из подраздела «Обратная матрица»), имеем

53

.

Вычислим теперь координаты : .

3. Найти матрицу перехода от базиса к базису по

данным разложениям этих векторов в базисе :

.

Решение. Чтобы построить матрицу перехода от базиса к базису , необходимо найти разложение векторов по базису . Сделаем это, представив в виде разложения по с неизвестными координатами, которые требуется определить:

,

или с учётом вида этих векторов в базисе

.

Откуда для координат имеем

Теперь, зная разложение по , выпишем матрицу :

54

.

Задачи

5. Найти координаты вектора в базисе , если извест­ны следующие разложения по базисам и :

а) , , ;

б) , , , .

5. Пользуясь определением, найти координаты вектора в указанном базисе :

а) , , ;

б) , , , ;

5. Построить матрицу перехода от базиса к базису и матрицу обратного перехода, если векторы в базисе имеют координаты

а) , ;

б) , , .

5. Найти матрицу перехода

а) от базиса к базису ;

б) от базиса к базису .

5. Дана матрица перехода

=

от базиса к базису . Найти координаты вектора

а) в базисе ; б) в базисе ;

в) в базисе ; г) в базисе ;

д) в базисе ; е) в базисе .

55

5. Используя матрицу перехода от базиса к базису, найти ко­ординаты вектора в базисе , если в базисе

а) , , ;

б) , , , .

5. Построить матрицу перехода от базиса к базису по данным разложениям векторов и в базисе :

а) , , , ;

б) , , , , , .

5. Построить матрицу перехода от базиса , к базису , и матрицу обратного перехода .

6. Построить матрицу перехода от базиса к базису в пространстве многочленов степени не выше .

7. В пространстве многочленов степени не выше найти разложение вектора по базису .