3. Линейные, евклидовы и унитарные пространства Линейные пространства

Определение. Множество векторов называется вещественным линейным пространством, если в этом множестве введены опе­рации сложения двух векторов (т.е. каждой паре , по­ставлен в соответствие определенный элемент из множества ) и умножения вектора на вещественное число (т.е. каждому вектору и произвольному числу по­ставлен в соответствие определенный элемент из мно­жества ), и эти две операции удовлетворяют следующим ак­сиомам:

1. для ;

2. для ;

3. во множестве существует нулевой вектор такой, что для ;

4. для во множестве существует противоположный век­тор такой, что ;

5. для выполняется ;

6. для и выполняются равенства

;

;

.

Определение. Арифметическим пространством Rⁿ называется множество векторов , в котором операции сложения векторов и умножения вектора на число определены следующим образом: если , , , то

, .

41

Утверждение. Множество всех решений однородной системы об­разует

линейное пространство.

Определение. Линейной комбинацией векторов называ­ется сумма вида , где - произвольные числа.

Утверждение. Множество всех линейных комбинаций векторов образует линейное пространство.

Задачи

1. Доказать, что следующее множество является линейным про­странством, указать его нулевой элемент, а также какой-либо конкретный элемент этого пространства и противопо­ложный ему элемент:

а) множество решений однородной системы ;

б) множество решений однородной системы ;

в) множество всех квадратных матриц n-го порядка;

г) множество всех симметричных матриц n-го порядка;

д) множество всех векторов, лежащих на одной оси;

е) множество всех линейных комбинаций векторов R³.

2. Доказать, что множество всех решений однородной системы образует линейное пространство.

3. Доказать, что множество всех линейных комбинаций векторов образует линейное пространство.

4. Является ли линейным пространством множество

а) всех решений неоднородной совместной системы линейных уравнений;

42

б) всех векторов координатной плоскости, каж­дый из которых лежит на одной из координатных осей;

в) всех многочленов степени не выше n;

г) всех многочленов n-ой степени;

д) всех сходящихся числовых последовательно­стей;

е) всех числовых последовательностей , схо­дящихся к даному числу .

5. Доказать, что

а) множество всех непрерывных функций, заданных на от­резке , где сумма произвольных функций и вычисляется как , а произведение функции на число вычисляется обычным образом, не является линей­ным пространством;

б) множество всех векторов пространства R³, где сумма произвольных векторов и вычисляется как , а произведение вектора на число вычисляется обычным об­разом, не является линейным пространством;

в) множество всех диагональных матриц n-го порядка, где сумма произвольных матриц и вычисляется как , а произведение матрицы на число вычисляется обычным образом, не является линейным пространством;

г) множество всех вещественных чисел, в котором сумма произвольных чисел и вычисляется как , а про­изведение числа на число вычисляется обычным образом, не является линейным пространством.