42. Границы применимости решения Эйлера. Формула Ясинского

      Как показали опыты, решение Эйлера подтверждалось не во всех случаях. Причина состоит в том, что формула Эйлера была получена в предположении, что при любой нагрузке стержень ра­ботает в пределах упругих деформаций по закону Гука. Следова­тельно, его нельзя применять в тех ситуациях, когда напряжения превосходят предел пропорциональности. В связи с этим найдем границы применимости решения Эйлера:

Рис. 7.4

,                      (7.13)

где   радиус инерции сечения. Если стержень имеет оди­наковые опорные закрепления в двух взаимно перпендикулярных плоскостях инерции, то при определении значения критической силы и критического напряжения, необходимо брать наименьшее значение момента инерции и, соответственно, радиуса инерции поперечного сечения.

      Введем понятие гибкости стержня:

.

      Тогда (7.13) принимает вид:

.                             (7.14)

      Из (7.14) следует, что напряжение _КР возрастает по мере уменьшения гибкости стержня. Заметим, что стержень, имеющий неодинаковые опорные закрепления в главных плоскостях и, сле­довательно, неодинаковые приведенные длины, теряет устойчи­вость в той главной плоскости, в которой гибкость стержня имеет наибольшее значение.

      Формула Эйлера неприемлема, если напряжения _КР > _П, где _П  предел пропорциональности. Приравнивая (7.14) к пределу пропорциональности, получим предельное значение гибкости:

.                               (7.15)

Если   _ПРЕД , то формулу Эйлера можно применять. В противном случае ею пользоваться нельзя. Для стали Ст.3 _ПРЕД  = 100.

      В ситуациях, когда напряжения превышают предел пропорциональности, получение теоретического решения осложняется, т.к. зависимость между напряжениями и деформациями становится не­линейной. В связи с этим, в этих случаях пользуются эмпириче­скими зависимостями. В частности, Ф.С. Ясинский предложил сле­дующую формулу для критических по устойчивости напряжений:

,                                  (7.16)

где a, b  постоянные, зависящие от материала, так для стали Ст.3 a = 3,110⁵ кН/м² , b = 11,410² кН/м².

      При гибкостях стер­жня, находящихся в диа­пазоне 0< < 4050, стер­жень настолько “коро­ток”, что его разрушение происходит по схеме сжа­тия, следовательно, кри­тические напряжения можно приравнять в этом случае к пределу пропор­циональности. Обобщая вышесказанное, зависи­мость критических на­пряжений _КР от гибко­сти стержня  можно представить, как это сделано на рис. 7.5.

 

Рис. 7.5

43. Расчет сжатых стержней на устойчивость

      Как правило, основная проблема при расчете сжатых стержней состоит в том, чтобы сжимающие напряжения  не превышали бы критических значений по устойчивости _КР , т.е.

.                             (7.17)

      При продольном изгибе центрально сжатый стержень теряет несущую способность, когда напряжения в его поперечных сечени­ях достигают критических значений. Поэтому необходимо ввести в расчет коэффициент запаса устойчивости n по отноше­нию к критическим напряжениям, с помощью которого и опре­деляется допускаемое напряжение при расчете на устойчивость:

.

      При расчете же стержней на растяжение применяют условие  < R, где R  расчетное сопротивление на растяжение.

      Для унификации расчетов на растяжение и сжатие введем соот­ношение правых частей двух последних неравенств:

,                                    (7.18)

откуда . И тогда (7.17) можно записать так:  < R.

      Величина  носит название коэффициента уменьшения расчетного сопротивления при расчете на сжатие и явля­ется функцией от гибкости стержня  (табл. 5).

      Таким образом, окончательно формула для расчета стержней на устойчивость принимает следующий вид:

.                                        (7.19)

      Несмотря на простоту выражения (7.19) расчет сжатых стерж­ней производится, как правило, в несколько этапов. Это связано с тем, что величина  зависит от формы и размеров сечения, поэтому не может быть назначена заранее. В связи с этим, подбор сечения осуществляют итеративно, постепенно приближаясь к тому, чтобы разница между напряжением сжатия  и расчетным сопротивле­нием на растяжение R не превышала бы 3.5

Таблица 5

	Cт 24	Ст 5	Чугун	Дерево		Ст 2-4	Ст 5	Чугун	Дерево
0	1.00	1.00	1.00	1.00	110	0.52	0.43		0.25
10	0.99	0.98	0.97	0.99	120	0.45	0.36		0.22
20	0.96	0.95	0.91	0.97	130	0.40	0.33		0.18
30	0.94	0.92	0.81	0.93	140	0.36	0.29		0.16
40	0.92	0.89	0.69	0.87	150	0.32	0.26		0.14
50	0.89	0.86	0.57	0.80	160	0.29	0.24		0.12
60	0.86	0.82	0.44	0.71	170	0.26	0.21		0.11
70	0.81	0.76	0.34	0.60	180	0.23	0.19		0.10
80	0.75	0.70	0.26	0.48	190	0.21	0.17		0.09
90	0.69	0.62	0.20	0.38	200	0.19	0.16		0.08
100	0.60	0.51	0.16	0.31

44. 46.

47-48. Основные характеристики цикла и предел усталости

      Многие детали машин и механизмов, а также конструкции со­оружений в процессе эксплуатации подвергаются циклически изме­няющимся во времени воздействиям. Если уровень напряжений, вызванный этими воздействиями, превышает определенный пре­дел, то в материале формируются необратимые процессы накопле­ния повреждений, которые в конечном итоге приводят к разруше­нию системы.

      Процесс постепенного накопления повреждений в материале под действием переменных напряжений, приводящих к разруше­нию, называется усталостью. Свойство материала противо­стоять усталости называется выносливостью.

      Для раскрытия физической природы процесса усталостного разрушения в качестве примера рассмотрим ось вагона, вращаю­щуюся вместе с колесами (рис. 9.1, а), испытывающую циклически изменяющиеся напряжения, хотя внешние силы и являются по­стоянными величинами. Происходит это в результате того, что час­ти вращающейся оси оказываются попеременно то в растянутой, то в сжатой зонах.

Рис. 9.1

      В точке А (рис. 9.1, б) поперечного сечения оси вагона имеем:

где y = (D/2)sin , t, а   круговая частота вращения колеса. Тогда:

.

      Таким образом, нормальное напряжение  в сечениях оси ме­няется по синусоиде с амплитудой:

.

      Опыт показывает, что при переменных напряжениях после не­которого числа циклов может наступить разрушение детали (уста­лостное разрушение ), в то время, как при том же неизменном во времени напряжении разрушения не происходит.

      Число циклов до момента разрушения зависит от величины _а, и меняется в широких пределах. При больших напряжениях для разрушения бывает достаточно 510 циклов, а при меньших напря­жениях разрушение может наступить при гораздо большем числе циклов или вообще не наступить.

      Пусть напряжения изменяются по закону, представленному на рис. 9.2. Величина

                                        (9.1)

называется коэффициентом асимметрии цикла. В тех случаях, когда _max = _min, R = 1 и цикл называется симмет­ричным. Если _min = 0 или _max = 0, то R = 0 и цикл называется нулевым или пульсационным. При простом растяжении или сжатии (когда _max = _min) R = +1. Циклы, имеющие одинаковый коэффициент  асимметрии называются подобными.

      Введем две следующие величины:

,

где _m  средние напряжения цикла, _а  амплитуда цикла.

      Тогда, в общем случае, цикл может быть представлен как сумма _m и напряжения, меняющегося по симметричному циклу с ампли­тудой _а , т.е.  = _m + _а sin t .

Рис. 9.2

      Следует отметить, что не при всех периодически изменяющих­ся напряжениях происходит разрушение материала. Для этого на­пряжения должны превзойти некий предел  предел усталости или выносливости. Предел усталости  наибольшее значение максимального напряжения подобных циклов _max (или _min, если _max < _min), которое не вызывает усталостного разрушения материала при неограниченном количестве циклов нагружения.

      Из определения следует, что предел усталости зависит от коэф­фициента асимметрии цикла и обозначается _R , где R  коэффици­ент асимметрии цикла. Экспериментально доказано, что наимень­шее значение предел усталости принимает при симметричном цик­ле.

      Для цветных металлов и для закаленных до высокой твердости сталей, так как они разрушаются при любом значении напряжений, вводится понятие условного предела усталости. За условный предел усталости принимается напряжение, при котором образец способен выдержать 10⁸ циклов.

      Обычно, для сталей, предел усталости при изгибе составляет _1  (0,4  0,5) _ВР . Для высокопрочных сталей _1  (400 + + 0,167 _ВР) МПа. Для цветных металлов _1  (0,25  0,5) _ВР . При кручении для обычных сталей имеем _1  0,56 _1 . Для хрупких металлов _1  0,8 _1 .

      Естественно, что определить экспериментальным путем предел усталости для каждого из возможных значений коэффициента асимметрии цикла R невозможно. На практике поступают следую­щим образом: для нескольких характерных значений R находят предел усталости _R и строят диаграмму усталостной прочности ма­териала (рис. 9.3), где по оси абсцисс откладываются значения среднего напряжения _m , а по оси ординат  амплитудного напря­жения _а , предельных циклов.

Рис. 9.3

      Каждая пара значений _m  и _а , характеризующая предельный цикл изображается точкой на этой диаграмме. Совокупность таких точек образует кривую АВ (рис. 9.3), отделяющую безопасную область (содержащую начало координат) от области циклических разрушений. На рис. 9.3 точка А диаграммы соответствует пределу прочности при стати­ческом нагружении, а т. В  при симметрич­ном цикле нагруже­ния. Любой из воз­можных циклов мо­жет быть изображен на этой диаграмме рабочей точкой (P.T.) с координатами (_m , _а ) и в зависимости от того, в какую из областей попала точка можно судить о безопасности данного цикла.