Метод Крамера

Для системи   лінійних рівнянь з   невідомими (над довільним полем)

з визначником матриці системи  , що не рівний нулю, розв'язок записується у такому вигляді:

(i-й стовпчик матриці системи замінюється стовпчиком вільних членів). Іншим чином правило Крамера формулюється так: для будь-яких коефіцієнтів c₁, c₂, …, c_n виконується рівність:

________________________________________________________________________________________Різниця добутку

Теорема. Границя добутку дорівнює добутку границь,якщо останні існують.

 

Доведення. Нехай, наприклад,  ,  . Покажемо, що  . Дійсно, якщо  , то за теоремою   , де   – нескінченно мала величина. Аналогічно,  , де   – нескінченно мала. Тоді

 

.

 Оскільки константа є величиною обмеженою, то величини   є нескінченно малими; величина   також є нескінченно малою. Оскільки сума трьох нескінченно малих величин є нескінченно малою, то   є нескінченно мала .

 

Необхідна умова існування максимуму функції

________________________________________________________________________________________

Екстремум ф-ї. Максимальне і мінімальне значення ф-ї.

Определение. Точка x₀ называется точкой максимума функции f, если для всех x из некоторой окрестности x₀ выполняется неравенство f(x) ≤ f(x₀.    По определению значение функции f в точке x₀ является наибольшим среди значений функции в окрестности этой точки, поэтому график функции в окрестности x₀ имеет обычно либо вид гладкого холма, либо вид острого пика (рис. 1 а) и б

В окрестности точки минимума графики изображаются в виде загругленной или острой впадины (рис. 2 а) и б)   Для точек минимума и максимума функции есть общее определение - точки экстремума. Значение функции в этих точках соответственно назывется максимумом или минимумом этой функции. Общее название - экстремум функции. Точки максимума обычно обозначают x_max, а точки минимума - x_min.

Наибольшим значением функции y=f(x) на промежутке X называют такое значение  , что для любого   справедливо неравенство  .

Наименьшим значением функции y=f(x) на промежутке X называют такое значение  , что для любого   справедливо неравенство  .

________________________________________________________________________________________

Інтегрування дробово-раціонального виразу 3 типу.

Означення. Найпростішими раціональними дробами І, II, III та IV типу називаються правильні дроби вигляду:

При інтегруванні найпростішого дробу III типу треба спочатку в знаменнику виділити повний квадрат, а потім той вираз, що під квадратом, замінити через нову змінну.

.

Повертаючись до змінної х, одержимо:

________________________________________________________________________________________

Производная логарифмической функции. Докажем формулу производной логарифмической функции для всех x из области определения и всехдопустимых значениях основания a логарифма. По определению производной имеем:

при доказательстве преобразования проводились с использованием свойств логарифма. Равенство справедливо в силу второго замечательного предела. _______________________________________________________________________________________

Нескінченно мала величина — числова функція або послідовність, яка прямує до нуля.

Обчислення нескінченно малих — обчислення з нескінченно малими величинами, при яких результат розглядається як нескінченна сума нескінченно малих. Обчислення нескінченно малих складає основу диференціювання та інтегрування.

Означення

Послідовність називається нескінченно малою, якщо . Наприклад, послідовність чисел — нескінченно мала. Жодне число окрім нуля не може бути віднесене до нескінченно малих величин.

Властивості нескінченно малої

• Алгебраїчна сума декількох нескінченно малих величин є також величина нескінченно мала

• Різниця двох нескінченно малих величин є величина нескінченно мала

• Добуток обмеженої змінної величини на нескінченно малу є величина нескінченно мала

• Відношення двох нескінченно малих величин - невизначеність

Границя нескінченно малої: Постійне число а називається границею послідовності , якщо різницею між ними є нескінченно мала величина.

Інші означення нескінченно малої

Функція називається нескінченно малою в околиці точки , якщо .

Порівняння нескінченно малих.

Нескінченно малі величини порівнюють між собою по характеру їх наближення до нуля.

Якщо відношення (а з ним і ) мають кінцеву і відмінну від нуля границю, то нескінченно малі та

• вважаються величинами одного порядку.

Якщо ж відношення само виявляється нескінченно малою (а зворотне відношення нескінченно великою), то нескінченно мала вважається величиною вищого порядку малості, ніж нескінченно мала , та одночасно нескінченно мала буде нижчого порядку малості, ніж нескінченно мала .

Якщо нескінченно мала виявляється вищого порядку, ніж нескінченно мала , то цей факт записують так: _______________________________________________________________________________________

Достаточные условия экстремума функции.

Для нахождения максимумов и минимумов функции можно пользоваться любым из трех признаков экстремума, конечно, если функция удовлетворяет их условиям. Самым распространенным и удобным является первый из них.

Первое достаточное условие экстремума.

Пусть функция y=f(x) дифференцируема в -окрестности точки , а в самой точке непрерывна.

Тогда

• если при и при , то - точка максимума;

• если при и при , то - точка минимума.

Другими словами:

если в точке х0 функция непрерывна и в ней производная меняет знак с плюса на минус, то х0- точка максимума;

если в точке х0 функция непрерывна и в ней производная меняет знак с минуса на плюс, то х0- точка минимума.

Второй признак экстремума функции.

• Пусть ,

• если , то - точка минимума;

• если , то - точка максимума.

• Как видите, этот признак экстремума функции требует существования производной как минимум до второго порядка в точке .

Третье достаточное условие экстремума функции.

Пусть функция y=f(x) имеет производные до n-ого порядка в -окрестности точки и производные до n+1-ого порядка в самой точке . Пусть и .

Тогда, если n – четное, то - точка перегиба;

если n – нечетное, то - точка экстремума, причем

• если , то - точка минимума;

• если , то - точка максимума.

________________________________________________________________

Друга чудова границя

Теорема 2.2. Функція   при   має границею число  , тобто

 

Границю називають другою важливою (другою чудовою) границею.

(Зауважимо, що числом   прийнято позначати границю такої збіжної послідовності:  , це число є ірраціональним (irrational)  .)

Доведення. Розглянемо випадок, коли  . Нехай

 

.

 Піднесемо члени отриманої нерівності до степенів, показники яких є частинами нерівності  . Дістанемо

 

.

 

Перейдемо до границі при  . Оскільки

 

,

,

 

То .Аналогічно доводиться справедливість рівності  .

Зауваження. Якщо  , то  . Поклавши    , матимемо іншу форму запису другої важливої границі

 

.                    

 

Натуральний логарифм. Логарифм числа x за основою e називається натуральним логарифмом і позначається  .