Наибольшее и наименьшее значения функции в заданной области

П усть на плоскости хоу дана замкнутая область , граница которой L имеет уравнение у =  (х) (см. рис. 26).

Пусть в замкнутой области   задана дифференцируемая функция z  = f (х, у). Требуется найти наибольшее и наименьшее значения (m и М) функции z в этой замкнутой области  .

Теорема. Если функция z  = f (х, у) непрерывна (или дифференцируема) в некоторой замкнутой области  , имеющей конечный диаметр, то она достигает в ней своего наибольшего и наименьшего значений.

Если функция z не имеет внутри области   критических точек, то значения m и М принимаются функцией z на границе L области  , являясь тем самым условными экстремумами z  = f (х, у) при условии у =  (х) .

Если же L представляет собой контур, составленный из нескольких дуг или прямолинейных отрезков с различными уравнениями, то на каждой такой дуге или отрезке следует найти наибольшее и наименьшее значения z и из полученных чисел выбрать наименьшее и наибольшее.

        Итак, для того, чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции z  = f (х, у), непрерывной в ограниченной замкнутой области  , необходимо воспользоваться следующим правилом:

1.  Найти критические точки данной функции, лежащие в области   и вычислить значения функции в этих точках (не классифицируя экстремума).

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на линиях, образующих границу области.

3. Из всех полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Заметим, что подобным же образом решается задача об отыскании наименьшего и наибольшего значений функции трёх переменных u = f (х, у, z), в замкнутой трёхмерной области.

__________________________________________________________________________________

 Означення неперервності в точці 

Функція f називається неперервною в точці   якщо:

1. функція f(x) визначена в точці x₀.

2. існує границя 

3. .

Означення неперервності в точці   за Коші

Функція f називається неперервною в точці   якщо:    , що   => 

Означення неперервності в точці   за Гейне

Функція f називається неперервною в точці   якщо:  , якщо  , то  .

Теорема Коші

Якщо кожна з двох функцій та неперервна на проміжку та диференційовна в усіх внутрішніх точках цього проміжка і якщо, окрім того, похідна відмінна від нуля скрізь у проміжку , то на цьому проміжку знайдеться точка така, що має місце формула:

Формулу (1) називають узагальненою формулою скінченних приростів, або формулою Коші.

Доведення

Перш за все покажемо, що . І справді, якщо б це було не так, то для функції на проміжку були б виконані умови теореми Ролля. Тоді б на проміжку знайшлася б точка така, що . Останнє протирічить умові теореми. Отже, , і ми маємо право розглянути наступну допоміжну функцію:

В силу умов, які накладено на функції та , функція неперервна на проміжку та знайдеться точка така, що

Маючи на увазі те, що

,і використовуючи рівність (3) отримаємо:

Враховуючи, що з рівності (4) отримуємо формулу Коші: Теормему доведено.

Визначенням границі по Коші.

Існує й інше, еквівалентне тому, що вище, визначення границі функції.

Говорять, що число   є границею функції   при  , що прямує до  , якщо для будь-якого додатнього числа   знайдеться таке додатне число  , яке залежить від  , що при всіх  , які задовільняють нерівність

,

виконується нерівність

.

Це визначення границі функції називається визначенням границі по Коші.