Контрольні питання

1. Що таке випадкова величина? На які види можуть бути поділені випадкові величини?

2. Що таке закон розподілу та яким чином він може бути заданий?

3. Пояснити в чому різниця між поняттями випадкова величина, випадковий процес та випадкова подія. Дати визначення кожному з понять.

4. Пояснити відмінність між поняттями імовірність та статистична імовірність події. За яких умов ці величини наближаються одна до одної?

5. Дати визначення поняттю функція розподілу імовірності та щільність розподілу імовірності. Яким чином визначаються ці величини?

6. Що таке математичне сподівання, дисперсія та середньоквадратичне відхилення. Яким чином здійснюється їх розрахунок для неперервних та дискретних величин?

7. Дати характеристику випадкової величини, що має рівномірний (експоненціальний, нормальний, гамма, біноміальний, геометричний, Пуассона ) закон розподілу.

8. Яким чином може бути згенеровано вхідний потік з заданим законом розподілу в середовищі Simulink?

Лабораторна робота 2 Визначення закону розподілу вхідного потоку

Мета роботи: Навчитися визначати теоретичний закон розподілу випадкової величини для отриманої статистичної вибірки (вхідного потоку, часу обслуговування вимог тощо).

Короткі теоретичні відомості

Для розрахунку показників, що дозволяють оцінити ефективність системи, необхідно визначити математичні моделі вхідного потоку та часу обслуговування вимог. З цією метою проводиться експеримент чи серія експериментів. Нехай, в результаті отримано значення інтервалів між надходженням сусідніх вимог (аналіз вхідного потоку) або час обслуговування заявки (аналіз роботи обслуговуючих пристроїв). Ці величини, розташовані в порядку їх отримання, називаються статистичним рядом або простою вибіркою [1, 6]. Кількість елементів вибірки – її обсяг. Для отримання закону розподілу випадкової величини бажано, щоб обсяг вибірки становив кілька десятків значень. Варіаційний ряд – це значення випадкової величини, записані в порядку зростання. Варіаційні ряди графічно можуть бути зображені у вигляді полігону розподілу та гістограми.

Якщо обсяг вибірки великий, її обробка дуже трудомістка. Для спрощення розрахунків формують груповану вибірку, розбиваючи отримані статистичні дані на інтервали. З цією метою спочатку необхідно визначити розмах варіації: .

Оптимальну довжину інтервалів розраховують за формулою , де - обсяг вибірки.

Тоді, кількість інтервалів буде рівна: .

Далі підраховується кількість значень випадкової величини , що потрапили в кожен з інтервалів, та визначається частота потрапляння величини в інтервал за формулою .

Якщо випадкова величина потрапляє на межу - го та -го інтервалів, то це значення відноситься в інтервал . В результаті отримуємо варіаційний статистичний ряд (табл. 2).

Таблиця 2

Інтервал			...		...
Частота			...		...

Наступним етапом є побудова графіків. При побудові полігону на осі абсцис в обраному масштабі відкладаються фактичні значення величини , а на осі ординат – частоти . Якщо необхідно побудувати гістограму розподілу випадкової величини, то на осі абсцис наноситься шкала для реалізацій випадкової величини , а на осі ординат – величини . Статистичну (емпіричну) функцію розподілу розраховують за формулою (для відповідних значень випадкової величини ) та відкладають ці значення на осі ординат.

З метою визначення теоретичного закону розподілу випадкової величини для початкового статистичного ряду підбирають теоретичну криву розподілу. Статистичний ряд розподілу апроксимують однією з диференціальних функцій теоретичного розподілу так, щоб забезпечувалося максимальне наближення теоретичних даних до емпіричних. Найчастіше критерієм узгодження цих двох величин обирають критерій Пірсона або критерій Колмогорова.

Мірою розходження між теоретичним законом розподілу та статистичним розподілом при перевірці гіпотези за критерієм Пірсона є величина, що розраховується за формулою . Далі визначається імовірність того, що з випадкових причин (наприклад, недостатній обсяг вибірки) міра розходження теоретичного і статистичного розподілів буде не менше ніж фактичне значення для даної вибірки. Величина імовірності розходження визначається з таблиць за значеннями та . Число ступенів свободи розраховується як , де - кількість розрахованих статистичних характеристик (середнє, дисперсія і т.д.), що були використані при розрахунку статистичних характеристик. Якщо імовірність виявиться дуже малою, практично меншою за 0.1, то теоретичний закон розподілу обрано невдало.

Критерій Пірсона застосовується в тих випадках, коли та в кожному з інтервалів .