4. Сведение двойного интеграла к повторному. Общий случай

Теор: G ограниченная замкнутая область. Проекция G на Ox – [ab] Oy и пересекает [a,b]. l G промежуток[y_H(x),y_b(x)]

сходится

Доказательство

R=

F(x,y):={ }

; *()=F(x,y)

( ;

Замечание 1

[c,d] проекция G на Oy. Если G пересекается с y=y₀ по промежутку [x_n(y₀),x_t(y₀)] и , то

5. Определение тройного интеграла. Формулы замены переменных и повторного интегрирования для тройного интеграла.

Кубируемые области. Элементарные области: конечное объединение прямоугольных параллелепипедов с ребрами, параллельными осям координат без общих внутренних точек.

- верхний объем G

; P-элементарно;

V_*G – нижний объем G

V_*G=supV(p); P –элементарно, P G

G кубируемо если = V_*G

Определение тройного интеграла

G- кубируемая область. f(x,y,z) в G

Переход к повторному интегралу

Теор: Проекция G на xOy G_z. Любая прямая пересекающая G_z пересекает G по промежутку [(xy,z_H(xy),(xy,z_b(xy))]. Если f(x,y,z) интегрируема в G и

[s,t] проекция G на Oz.

Замена переменных

G кубируема в (x,y,z).

G* в (uvw)

F:{x=x(uvw);y=y(uvw);z=z(uvw)}. Условия на F: 1) взаимная однозначность 2) C’(G*) 3)Якобиан 0

D* внутри G*, F(D*)=D внутри G

Теор. Если f(x,y,z) интегрируема в D, то

6.Формулы замены в двойном и тройном интеграле. Полярные, цилиндрические и сферические координаты.

Теор. D*, G*, F, D, G квадрируемые области. f(x,y) интегрируема в D.

z

Теор. Если f(x,y,z) интегрируема в D, то

Стандартные замены

1. Цилиндрическая

z

r

y

x

2. Сферическая

r

;

y

x

7. Определение криволинейного интеграла первого рода. Свойства

-естественная параметризация

Г-

Г+

Опр. F(s)=F(x(s),y(s),z(s)) на [0,s] интегрируема тогда криволинейные интегралы первого рода от F по Г и *( ; *()=

Г-: ,

0=s₀<s₁<…<s_n=S

длина

t_j [s_j-1,s_j], j=1..n

t_j),y(t_j),z(t_j))(s_j-s_j-1)

8.Криволинейные интегралы второго рода. Свойства

Г гладкая(кусочно гладкая)

a( )=(P(xyz),Q(xyz),R(xyz))

Опр. ; := (s)ds

Если кусочно гладкая, то ;

-циркуляция

P: 0=s₀<s₁<…<s_n=S ; [s_j-1,s_j]

выбираем , так чтобы ( )

(x(0),y(0),z(0))=()

9.Формула Грина. Случай элементарной области.

d C

c A B

a b

, G односвязна в D. D(xy), Q(xy), dP/dy, dQ/dx непрерывны. dG кусочно гладкая. Тогда

Доказательство при дополнительных ограничениях на G

а) G криволинейный треугольник

AB||Ox, AC||Oy, AC-график непрерывной строго возрастающей функции y= ,x

=-

=0, т.к. x b на [BC]

AC- график непрерывной строго возр. ф-ии

10.Формула Грина. Общий случай

G односвязная

Можно разбить на конечное число областей, для которых доказана формула Грина.

P,Q, dP/dy, dQ/dx

=

G-первоначал, G+ с разрезами

=

Следствие

Площадь G=

11. Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования

12 Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования для односвязной области

Пусть в области D заданы непрерывные функции P(x,y) и Q(x,y) и M₀M – гладкая дуга, лежащая в области D.

Рассмотрим вопрос о независимости интеграла от формы пути интегрирования. Место имеет следующая теорема:

Теор . Пусть функции P,Q,P’_Y,Q’_X определены и непрерывны в односвязной ограниченной замкнутой области D в плоскости Oxy. Тогда следующие четыре условия равносильны между собой:

1. , где L- замкнутый контур в области D;

2. Интеграл не зависит от формы пути интегрирования, а зависит лишь от положения точек M₀ и M.

3. Pdx+Qdy=dU- полный дифференциал некоторой функции U(x,y)

4. dQ/dx=dP/dy в каждой точке области D

1=>2

2=>3

Пусть A(x₀,y₀), является функцией от x,y, т.е.

u(x,y) = . Чтобы показать дифференцируемость u(x,y) т.е. du=Pdx+Qdy, достаточно доказать для По определению частной производной:

, где т.С( можно взять прямолинейным y=const. Тогда

И по теореме о среднем для определенного интеграла получаем

Аналогично доказывается равенство du/dy

3=>4 Из условия 3 следует, что по теореме о равенстве частных производных высших порядков, отличающихся порядком дифференцирования,

4=>1

Пусть гладкая замкнутая кривая L*D ограничивает область

Тогда по формуле Грина

13.Касательная плоскость и нормаль к явно заданной поверхности. Достаточное условие существования невертикальной касательной плоскости

Если поверхность задана явно: z = f(x; у), то в точке X₀(x₀; y₀; z₀) она обладает касательной плоскостью

и нормалью

14. Понятие гладкой поверхности

Задание поверхности уравнением z=f(x,y)) (1) or x=f(y,z) (2) or y=f(x,z) (3)называется явным

Задание поверхности уравнением z=f(x,y,z) называется неявным

-параметрическое задание

Опр.

Пусть поверхность Ф задана явно, либо неявно, либо параметрически. Будем называть поверхность Ф гладкой, если для любой ее точки существует такая окрестность, которая вырезает часть поверхности Ф, допускающую явное представление любого вида(1,2,3), где f- непрерывно дифференцируемая функция

Если поверхность Ф задана явно уравнением (1) и функция f(x, y) непрерывно

дифференцируема в области G, то поверхность, очевидно, является гладкой.

Пусть поверхность Ф задана неявно уравнением (1) и пусть функция F(x, y, z) непрерывно дифференцируема. Точка М0(x0, y0, z0) поверхности Ф называется неособой, если в этой точке Fx2 + Fy2 + Fz2 ≠ 0. В противном случае точка называется особой. Если поверхность не содержит особых точек, то она является гладкой.

15. Касательная плоскость и нормаль к поверхности, заданной параметрически

Пусть поверхность Ф задана параметрически уравнениями (x = ϕ(u, v), y = ψ(u, v), z = χ(u, v), (u, v) ∈ g,), или, что то же самое,

уравнением (r = ϕ(u, v) i + ψ(u, v) j + χ(u, v) k, (u, v) ∈ g,). Точка M₀(ϕ(u, v), ψ(u, v), χ(u, v)) называется неособой точкой поверхности Ф, если в этой точке векторы

ru = i ϕ_u(u, v) + j ψ_u(u, v) + k χ_u(u, v),

rv = i ϕ_v(u, v) + j ψ_v(u, v) + k χ_v(u, v), неколлинеарны (линейно независимы). В противном случае точка M₀ называется особой. Простая поверхность, не имеющая особых точек, является гладкой.

Уравнение касательной плоскости к поверхности Ф в неособой внутренней точке M(ϕ(u,v), ψ(u, v), χ(u, v)) имеет вид A(x − x0) + B(y − y0) + B(М0)(z − z0) = 0.

где x0 = ϕ(u, v), y0 = ψ(u, v), z0 = χ(u, v),

Вектор N = [ru · rv] = i A + j B + k. С есть вектор нормали к поверхности Ф в точке M.

Векторы ru и rv, отложенные от точки M, лежат в касательной плоскости (рис).

16. Определение площади поверхностей, заданных в явном виде и параметрически

17