Ядро Дирихле

- периодическая функция, задаваемая формулой

Теор. Пусть f(x) интегрируема [ и периодическая, тогда

Доказательство

Рассмотрим n-ную частичную сумму ряда Фурье

]dt (*)

Рассмотрим сумму косинусов

Умножим каждое слагаемое на 2sin(a/2) и преобразуем по формуле

=sin(n+1/2)a

Применим это преобразование к (*)

Сделаем замену переменного u=t-x

Свойства ядра Дирихле

1)D_n(x) функция 2pi периодическая и четная

24

Регулярные функции. Достаточное условие сходимости ряда Фурье в точке.

25

Достаточное условие равномерной сходимости ряда Фурье

Теор. Пусть ф-я f(x) непрерывна на [a;b]; и является кусочно гладкой. Тогда ряд Фурье этой функции равномерно сходится к на все отрезке [a,b]

Док-во. Так как функция кусочно-гладкая, то она имеет непрерывную на [a,b] производную всюду, за исключением конечного числа точек {Xi}. Доопределим эту функцию

Тогда ’(x) на отрезке [a,b] оказывается принадлежащей классу Q[a,b]и для

Пусть f’(x)соответствует ряд Фурье

А ряд Фурье функции f(x) сходится поточечно к этой функции:

Для доказательства равномерной сходимости используем признак Вейерштрасса, т.е построим сходящийся числовой ряд, который мажорирует Фурье. Найдем связь между коэффициентами a₀,b_k,b_k и ₀, _k, _k

Производим оценку членов ряда

a₀/2=const

f’(x) соответствовал ряд Фурье, а для коэффициентов ряда Фурье справедлива формула

0 эти ряды сходятся

Этот ряд сходится => Ряд Фурье для f(x) сходится равномерно

1.Определение двойного интеграла. Критерий интегрируемости. Интегрируемость непрерывных в ограниченной замкнутой области функций.

Критерий интегрируемости

Теор: Пусть f(xy) непрерывна в замкнутой области G. Тогда f(xy) интегрируема в G.(Замкнутая область G содержит свою границу dG)

Док-во

По теореме Кантора f(xy) равномерно непрерывна в G

Т такое, что <

площадь G

По крит интегр f(xy) инт в G

2. Свойства двойного интеграла.

1. Если f(x,y) интегрируема в G, то она останется интегрируемой и интеграл не изменится, если f(x,y) изменить (оставив ограниченной) на кривую (нулевой площади)

2. Аддитивность. f(x,y) интегрируема в G. G разбита кривой Г на G₁ и G_2.­Тогда f интегрируема на G₁ и G₂

3. Линейность. f и g интегрируемы в G. интегрируемы в G

4. Произведение интегрируемых функций интегрируемо

5. Если f(x,y) и g(x,y) интегрируемы в G и f(x,y) g(x,y) в G, то

6. Модуль интегрируемой функции интегрируем.

7. Теорема о среднем значении. f(x,y) интегрируема в G. M=sup_G f(x,y), m=inf_Gf(x,y) . Если f(x,y) непрерывна в G, то

8. Площадь G=

3. Сведение двойного интеграла к повторному. Случай прямоугольной области

Теор. f(x,y) интегрируема в R { }

.

Тогда: а) I(x) интегрируема на [ab]

б)

Доказательство

R на R_kl

a=x₀<x₁<<x_n=b

c=y0<y₁<y_p=d

R_kl } k=1..n, l=1..p;

M_kl:=sup_Rklf(x,y), m_kl:=int_Rklf(x,y)

m_kl M_kl ; m_kl

Складываем по l от 1 до Ф

Суммируем по k

; ()**= ; ()*=()***=S_T(f)

Замечание

Если I₂(y), то I₂(y) интегрируема на [c,d]и