Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда.
Теорема пусть для k(x), x ϵ 𝕏 : ∀x ϵ 𝕏 |Uk(x)|≤αk и ∑αk сходится, тогда Uk(x) сходится на 𝕏 равномерно.
Доказательство: Непосредственная проверка К. Коши.
∀ε
>0 ∃ N=N(ε)
∀n≥N
∀p
|
k|<ε
∀x
ϵ 𝕏
|
k|=
k≥|
k(x)|
Т.е. проверено усл. К. Коши равномерной сходимости k(x) ⦆
10
Теорема о предельном переходе в равномерно сходящейся последовательности. Непрерывность предела равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций.
Теорема о предельном переходе в равномерно сходящихся последовательностях.
F
n(x)⇒f(x)
на (a;b) ; ∀k
∃
k(x)
тогда ∃
и
=
k(x)
=
k(x);
(x ϵ (a;b))
fk(x)=xn→1≠
k=0;
Ak≔ k(x) ; (x ϵ(a;b)) для {Ak} проверка К. Коши. По К. Коши для {fk(x)}
∀ε>0
∃ N
=N(ε):
∀n≥N
∀p;
∀x
ϵ(a;b):
|fn(x)-fn+p(x)|<
;
|fn(x)-fn+p(x)|=|An-An+p|≤
Т.е.
{Ak}
фундаментальна A≔
k;
Надо проверить что
(x)=A
Т.е. ∀ε>0 ∃δ>0 : ∀x ϵ (a;a+δ) |f(x)-a|<ε ;
∀ε>0
∃ K1;
∀k≥K1,
∀ x
ϵ
(a;b)
|fk(x)-f(x)|<
∃K2: ∀ k≥K2 : |Ak-A|< ; k0=max{k1;k2}
fk0(x) →Ak0 (x→a x ϵ(a;b) ∃δ >0 ∀x ϵ(a;a+δ): |fk0(x)-Ak0|<
∀x ϵ(a;a+δ) (δ для всех fk0(x))
|f(x)-A|=|(f(x)-fk0(x))+(fk0(x)-Ak0)+(Ak0-A)|≤|f(x)-fk0(x)|(<
)+|fk0(x)-Ak0|(<
)+|Ak0-A|(<
)<ε
⦆
Теорема о непрерывности предела равномерно сходящейся посл.
{fn(x)} непр. На (a;b) и fn(x)⇒f(x) на <a;b> тогда f(x) непр. На <a;b>;
Теорема ‘ Uk(x) равн. Сход. Ряд непр. Функций на <a;b> , тогда его k(x) есть функция непрерывная на <a;b>. (Доказательства в лекциях не наблюдается).
11
Теорема о почленном интегрировании функциональной последовательности
Теорема
∀k
fk(x)
интегрируему на [a;b]
, fk(x)⇒f(x)
на [a;b]
тогда предельная функция f(x)
интегрируема на [a;b]
и
k(x)dx
Доказательство:
Критерий интегрируемости. f(x)
интегрируема на [a;b]
∀ε>0
∃δ≔δ(ε)>0,
∀T
λT<δ
(разбиение диаметра T)
Mj-mj|∆xj<ε
Mj=sup f(x) на [xj-1;xj] ; mj=inf f(x) на [xj-1;xj]
∀ε>0
∃N=N(ε)
∀n≥N
∀x
ϵ
[a;b]
|f(x)-fn(x)|<
n-
зафиксировали. Для fn(x)
∃δ>0;
∀T
λT<δ
Mnj-mnj)∆xj
<
Mnj=sup fn(x) на [xj-1;xj]; mnj=inf fn(x) на [xj-1;xj];
<f(x)-fn(x)<
m
nj
≤fn(x)
fn(x)
≤Mnj
Mj≤Mnj+ ; mj≥ mnj-
Mj-mj)Δxj≤
Mnj
)-(
m nj
))Δxj=
Mj-mj)Δxj+
xj=
xj<ε
выполнена проверка К. интегрируемости.
Равенство пределов.
f(x)
интегрируема на [a;b]
Проверить что ∀ε>0
∃N=N(ε):
∀n≥N
|
fn(x)dx-
∀ε>0
∃N=N(ε);
∀n≥N
|fn(x)-f(x)|<
;
|
fn(x)dx-
≤
fn(x)-f(x)|dx<
⦆
12
Теорема о почленном дифференцировании функциональной последовательности.
Теорема: имеется {fn(x)} на [a;b] и ∀n fn(x) дифференцируема на [a;b]
X0 ϵ[a;b]: {fn(x0)} сходится
{fn’(x)} сходится на [a;b] равномерно. Тогда:
{fn(x)} сходится на [a;b] равномерно к некоторой функции f(x)
F(x) дифференцируема на [a;b] и f’(x)=
fn’(x).
Доказательство:
Проверить равномерность сходимости {fn(x)} на [a;b] Формула Лагранжа
φ(x) непр. На [a;b] и дифференцируема на (a;b) тогда ∃ ξ ϵ (a;b): φb-φa=φ’(ξ)(b-a) следствие: Если |φ’(x)|≤M на (a,b) то |φ(b)-φ(a)|≤M|b-a|
13
Определение степенного ряда. Круг и радиус сходимости. Формула Коши-Адамара.
14
Почленное интегрирование и дифференцирование в степенных рядах
15
Ряд Тейлора
16
Определение аналитической функции. Достаточное условие аналитичности.
17
Определение алалитической функции, разложение функций ех coss sinx в ряд по степеням x
18
Определение аналитической функции. Разложение функций (1+х)а и log(1+x)
19
Определение тригонометрического полинома и тригонометрического ряда. Тригонометрическая система функций. Ряд Фурье. Достаточное условие того, что тригонометрический ряд является рядом Фурье.
20
Пространство кусочно непрерывных функций с квадратичной нормой
21
Минимальное свойство рядов Фурье
Доказательство
Пусть
Из св-ва
получаем
И из св-ва
,
если
22
Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля
Рассмотрим
кусочно непрерывную функцию f(x),
заданную в интервале
Ее разложение в ряд Фурье имеет вид.
В неравенстве Бесселя устанавливается, что
Отсюда
следует, что ряд
сходится
Равенство Парсеваля
Если f(x) является квадратично интегрируемой функцией в интервале , так что выполняется соотношение
то неравенство Бесселя становится равенством. В этом случае справедлива формула Парсеваля:
23