1

Числовым рядом называется последовательность вида: U₀+U₁+U₂+U₃+…+U_n

И обозначается:

Где U_n Есть общий член ряда.( U_n ∈ ℂ (ℝ)) ;

Критерий Коши сходимости числового ряда:

ряд сходится ∀ ε >0 ∃N: ∀n≥N ∀ p ϵ ℕ

| |< ε

Доказательство:

‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌ сходится ^def сходится =S_n

Критерий Коши для последовательности:

{S_n­} сходится  она фундаментальна т.е. ∀ ε ∃N ∀n≥N ∀p ϵ ℕ :‌‌|S_n+p - S_n|<ε

‌‌|S_n+p - S_n|=| - |=| |< ε

‌‌‌‌

Необходимое условие сходимости числового ряда-

Если ряд сходится, то его общий член U_k → 0 при k→∞.

Доказательство – по К. Коши (для p=1)

Условие необходимое но не достаточное- обратно не работает.

На сходимость не влияет добавление‌/убавление конечного числа членов.

Действия с рядами.

1)

2) ‌‌‌‌

Доказательство

2е аналогично.

2

∀k U_k≥V_k≥0 ( обязательно)

U сходится ⇒ V сходится

V расходится⇒ U расходится

2) если ∃ Lim_k→∞ U/V =A≠0 то ряды сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство.

Из сходимости следует ограниченность из нее следует ограниченность второго ряда⇒ сходится и второй ряд.

2) |u/V –A|< ε (∀ A>ε>0)

Раскрываем модуль.

И левая и правая части >0 и из первой части следуют сходимости.

3

Признаки Даламбера и Коши сходимости числовых рядов.

А) Если ∀ k U_k >0 q<1 – ряд сходится q> 1 ряд расходится.

Б) Если ∃Lim_k→∞ то при q<1-сходится q>1-расходится q=1 -???

Замечание: Пункт а может выполняться начиная с какого то номера.

Доказательство ‌‌‌‌‌:

А)сравнение с геометрической прогрессией.

Б) сводится к А.

А) U_k=U₀ U₀q^k

q^k сходится⇒ по признаку сравнения U_k сходится.

Если U_k+1≥U_k≥0 т.к. U₀>0 to ∀k U_k≥U₀>0 и U_k↛0⇒ не выполнено необходимое условие сходимости ряда.

Б) пусть Lim_k→∞ ∀ε >0 ∃N : ∀k≥N | Lim_k→∞ |<ε

q-ε< q+ε Пусть q<1 Выберем ε таким, что бы q+ε<1 (q+ε)<1 ряд сходится по А.

Пусть q>1 выберем ε >0 таким, что бы q-ε>1 ∀k≥N (q-ε)>1 расходимость по А.

Признак Коши

Замечание а. может выполняться начиная с какого то номера.

Доказательство:

А)

Если ∀k (0≤)U_k ≤q^k Из сходимости мажорирующего ряда ⇒ сходимость ряда ‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌ U_k Если >1 U_k>1 ⇒ не выполнено необходимое условие сходимости ряда.

Б)

Пусть q=Lim тогда ∀ε>0 ∃K : ∀k>K | -q|<ε  q-ε< <q+ε 

(q-ε)^k<U_k<(q+ε)^k если q<1 то при 0<ε <1-ε <q+ε<1 сходимость по А.

Если q>1 то при ∀ q-1>ε>0 >q-ε>1 расходимость по А.

4

Интегральный признак сходимости числовых рядов.

f(x)≥0; f(x)‌‌ 0 на[0;∞) ‌‌‌ и сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство

1)

S_n= ⇒ {S_n} сходится ограничена. F(x)≔ ∃LimF(x)  F(x) ограничена. Т.к. F(x) монотонна то по ∀ конечному отрезку сходится.

f(k)≥f(x)≥f(k+1) x ϵ [k;k+1]

f(k)≥ ≥f(k+1) ∀ k =0,1,2,3,4...

S_n­≥ ≥ S_n+1­-f(0)

Если сходится ряд =S ∀x S

Т.е. F(x) огр. Сверху ⇒ сходимость.

2)

Пусть сходится – сходится ∀ n

S_n+1≤f(0)+ ⇒S_n ограниченная ⇒ ряд сходится

(т.к. –число)

5

Знакочередующиеся ряды, Теорема Лейбница.

U_n 0 (-1)ⁿU_n

Теорема: Если U_n 0 то (-1)ⁿU_nсходится( признак Лейбница)

Доказательство:

S_2n+1=(U₀-U₁)+ (U₂-U₃)+ (U₄-U₅)+… (U_2n-U_2n+1) S_2n+1

S_2n+1=U₀-(U₁-U₂) -(U₃-U₄) -(U₅-U₆)-... -(U_2n-1-U_2n)-U_2n+1 ≤U₀

S_2n+1 и ограничена сверху ⇒ она сходится {S_2n+z} сходится.

S_2n+1→S S_2n=S_2n+1-U_2n+1 ⇒ → S ⇒ S_n→S ( т.к. U_2n+1→ 0).

6

Условно и абсолютно сходящиеся ряды. Перестановочное св-во абсолютно сходящихся рядовъ

Опр. U_{k ,} U_k ϵ ℝ (ℂ) сходится абсолютно если сходится |U_k|

Утв. Если ряд сходится абсолютно, то он сходится.

Док. К. Коши(‌‌‌‌‌‌‌‌ U_k сходится ∀ ε>0 ∃N; ∀n≥N; ∀ p | _k|<ε)

По к. Коши ∀ε>0 ∃N: ∀n>N ∀p | _k||(<ε)=‌ _k|≥‌| _k|( по нер-ву‌‌ )

Т.е. для ряда U_k Выполнен К.Коши.

Лемма: ряд _k, U_k ≥0 сходится. Тогда при ∀ перестановке членов сходимость остается и сумма не меняется.

Док-во.

_k^{’ –}перестановка _k . Проверяем ограниченность S_n^’= _k^’

∀n S_n^’= _k^’

K₀- номер U₀^’ в исходном ряде.

K₁- номер U₁^’ в исходном ряде.

,,,

K_n- номер U_n^’ в исходном ряде.

N=max{k₀,k₁,…,k_n}

S_n^’= ^’_k ≤ _k≤ _k≤S ⇒S_n^’ сходится  сходится _k^’=S’ ⇒S^’≤S

После перестановки Сумма ряда не увеличивается. При обратной перестановке S≤S^’⇒S=S^’

Теорема: если ряд сходится абсолютно, то при любой перестановке его членов сходимость сохраняется и сумма ряда не меняется.

1. ∀k U_k ϵ ℝ

U_k⁺:={U_k если U_k≥0, 0 если U_k<0 } U_k^-:={-U_k если U_k<0, 0 если U_k≥0 }

∀k U_k=U_k⁺+U_k^- ∀k |U_k|≥U_k⁺≥0 |U_k|≥U_k^-≥0

Т.к. ряд |U_k| сходится то по признаку сравнения U_k⁺и U_k^- тоже сходятся.

_k= _k⁺- _k^- = _k⁺- _k^-= _k⁺-V_k^-)= _k

Где _k – переставленный ряд U_k V_k⁺ и V_k^- аналогично.

_k⁺- _k^- Сходятся по Лемме

2. ∀k U_k ϵ ℂ Пусть ∀k U_k=α_k+Iβ_k ;α_k=ReU_k β_k=ImU_k

∀k: |α_k|≤|U_k| и |β_k|≤|U_k| ⇒ α_k и β_k сходятся абсолютно ( признак сравнения)

Пусть после перестановки получаем V_k=p_k+iq_k

_k= _k+Iβ_k)= _k+ _k= _k +i _k= _k+iq_k)= _k

Опр. _k сходится условно если ‌|U_k| расходится а U_k сходится.

7

Умножение абсолютно сходящихся рядов.

Теорема: Пусть _k и _k сходятся абсолютно. {W_k} – произвольным образом занумерованные произведения U_kV_m все и по 1 разу. Тогда _k сходится абсолютно и его сумма _k= _{k k}

Доказательство: Канторов диагональный процесс:

Занумеровать произведение можно.

1. W_k Сходится абсолютно.

∀N _k ∀k W_k=U_nkV_mk

Пусть M≔ max{n1m1,n2m3, … , nNmN}

‌ матрица MxM содержатся все слагаемые W_k

_k|≤ _k| _k|≤ _k| _k| Т.е. честичные суммы ряда |W_k| ограничены ⇒ сходится W_k абсолютно. ⇒ нумерацию можно выбирать произвольно исходя из удобства.

S_n2= _{k k k}

S_m имеет предел S_m→ _{k k}

₈

Неравенство Абеля

а_k монотонна ∃B ∀k |B_k|<B ∀k=1,…,n тогда: | _kb_k­|≤2B(|a₁|+2|a_n|)

доказательство: (в разработке)

Признак Абеля.

{a_n} монотонна и ограничена. А b_n сходится. Тогда сходится a_nb_n

Доказательство: M:∀n ∀n |a_n|<M

∀ε>0 ∃N; ∀n≥N ∀p | _k|≤

(Выполнено для каждой суммы ∀ l | _k|поэтому это В из нер-ва Абеля)

∀n≥N ∀p | _kb_k|≤ a_n+1|+2|a_n+p|)<ε a_n+1|<M и|a_n+p|<M)

Признак Дирихле

{a_k} монотонна и a_k→0 при k→0 и частичные суммы _k ограничены. Тогда a_kb_k сходится.

Доказательство:

Пусть B_n= _k ; |B_n|≤B

| _k|=| _k - _k |≤| _k |+| _k |≤2B

∀ε >0 ∃N ∀n≥N |a_n|<

| _kb_k|≤2B a_n+1|+2|a_n+p|)<2B( ε

(Признак Лейбница- частный случай признака Дирихле)

9

Сходимость и равномерная сходимость функциональных рядов и последовательностей. К. Коши равномерной сходимости. Необходимое условие равномерное сходимости функционального ряда. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда.

{f_n(x)} ( U_k(x)) сходится на 𝕏 Если ∀x₀ ϵ 𝕏 числовая последовательность {f(x₀)}(числовой ряд U_k(x₀)) сходится.

Поточечная сходимость

Пусть   — последовательность функций вида   ( ) где   — область определения, единая для всех функций семейства.

Зафиксируем точку   и рассмотрим числовую последовательность вида  .

Если у этой последовательности имеется (конечный) предел, то точке   можно сопоставить предел этой последовательности, обозначив его  :

.

Если рассмотреть всё точки множества  , в которых указанный предел существует, то можно определить функцию  .

Таким образом определённая функция называется поточечным пределом последовательности функций семейства   на множестве  :

,

а про само семейство   говорят, что оно поточечно сходится к функции   на множестве  .

Равномерная и неравномерная сходимость :

Просто сходимость: "для каждой точки существует такой номер, что..." Равномерная сходимость: "существует такой номер, что для каждой точки..."

Критерий Коши равномерной сходимости ряда.

неравномерно равномерно

{f_n(x)} сходится не 𝕏 равномерно ∀ε>0 ∃N=N(ε); ∀n≥N ∀p:

|f_n+p(x)-f_n(x)|<ε ∀x ϵ 𝕏;

Доказательство: ⇒ ) f_n(x)⇒ f(x) на 𝕏 ∀ε>0 ∃N:∀n≥N :|f_n(x)-f(x)|< ; ∀x ϵ 𝕏

∀p |f_n+p(x)-f_n(x)|=|((f_n(x)-f(x))-(f_n(x)-f(x))|≤ |((f_n(x)-f(x))|+|(f_n(x)-f(x))|≤ = ε;∀xϵ𝕩

⇐) Если взять ∀x₀ ϵ 𝕏 и зафиксировать его, то послед. {f(x₀)} фундаментальна ⇒ {f(x₀)} сходится( К. Коши). Обозначим f(x) поточечный предел {f_n(x)} f_n(x)→f(x) на 𝕏

∀ε >0 ∃N: ∀n≥N; ∀p |f_n+p(x)-f_n(x)|< ∀x ϵ 𝕏

X и n пока что зафиксированы. При p→∞ f_n+p(x)→f(x) |f(x)-f_n(x)|≤ <ε ⦆

К. Коши равномерной сходимости для ряда:

U_k(x) сходится на 𝕏 равномерно  ∀ε>0 ∃N=N(ε) ∀n≥N, ∀p

| _k(x)|<ε ∀x ϵ 𝕏 ;

Следствие: необходимое условие равномерной сходимости ряда

Если U_k(x) сходится на 𝕏 равномерно, то U_k(x)⇒0 на 𝕏

Док-во из К. Коши при p=1.