IV. Элементы теории вероятностей и математической статистики
Среди разделов математики элементы теории вероятностей занимают особое место. Во-первых, этот раздел является теоретической базой статистических дисциплин, используемых специалистами – психологами при исследованиях, при проведении экспериментов и при обработке этих экспериментов, при отработке массовых совокупностей наблюдаемых явлений, выявление статистических закономерностей.
При решении задач следует не только формально выполнить расчеты и использовать соответствующие формулы, но и уделять внимание логическому анализу содержания задачи, обоснованию выполненных операций, а также четко формулировать как промежуточные, так и окончательные результаты решений, используемые понятия и определения обоснованию выполняемых операций, а также чётко формулировать как промежуточные, так и окончательные результаты решения, используемые понятия и определения.
Пример1. В группе 10 учеников, из которых 6 занимаются спортом, а остальные неспортивные. Найти вероятность того, что среди одновременно наудачу вызванных учеников из группы в составе 3 человек спортивных будет: а) один, б) хотя бы один.
Решение.
Обозначим исходные события следующим
образом: В
– «из 3-х один спортивный», С
– «из трех хотя бы один спортивный».
Выразим события В
и С
через простые события. Для этого обозначим
через
события, состоящие в том, что соответственно
1-ый, 2-ой, 3-ий ученик спортивный.
а) Событие состоит в том, что или 1-ый спортивный, остальные неспортивные, или 2-ой спортивный, остальные нет, или 3-ий – спортивный, остальные нет. Поэтому его можно представить следующим образом.
.
Итак, событие В можно рассматривать как сумму трех независимых событий. Поэтому, применяя теорему сложения вероятностей, находим:
.
Используя для нахождения каждого из трех слагаемых теорему умножения вероятностей для зависимых событий, получим далее:
(
- противоположное событие;
- условная вероятность).
б) Проще сначала найти вероятность не события С, а событие, противоположное ему. Оно состоит в том, что среди трех взятых учеников не будет ни одного спортивного или, что то же самое, все трое не занимаются спортом.
Тогда по правилу нахождения вероятности противоположного события
Ответ: вероятность того, что из трех вызванных одновременно учеников: один занимается спортом, равна 0,3; хотя бы один » 0,967.
Пример 2. В семье десять детей. Считая вероятности рождения мальчика и девочки равными между собой, определить вероятность того, что в данной семье: а) не менее трех мальчиков; б) не более трех мальчиков.
Решение.
Обозначим вероятность рождения мальчика
,
девочки
,
т.к. они равны между собой, а в сумме
должно быть 1.
а) Вероятность
того, что в семье не менее 3-х мальчиков,
можно найти так:
,
исходя из определения вероятности
противоположного события.
,
следовательно, используя формулу
Бернулли, получим:
здесь
применяем формулу вычитания числа
сочетаний из
элементов по
элементов:
.
в) Вероятность того, что в семье не более 3-х мальчиков, равна
.
Пример 3. Задан закон распределения дискретной случайной величины Х:
|
-4 |
6 |
10 |
|
0,2 |
0,3 |
0,5 |
Найти: а) математическое ожидание; б) дисперсию; и) среднее квадратическое отклонение.
Решение: а) Математическое ожидание случайной величины Х:
.
б) Дисперсия
случайной величины Х:
.
в) Среднее
квадратическое отклонение:
Задача 4.
Функция
задана таблицей.
-
50
70
90
110
130
0,2
0,5
0,8
1,1
1,3
Методом наименьших
квадратов найти линейную функцию
такую, чтобы сумма квадратов отклонений
от табличной функции была бы наименьшей.
Р
ешение.
Найдем необходимые для решения суммы
;
;
;
.
Промежуточные вычисления представим таблицей:
-
1
50
0,2
10
2500
2
70
0,5
35
4900
3
90
0,8
72
8100
4
110
1,1
121
12100
5
130
1,3
169
16900
450
3,9
407
44500
Составим систему нормальных уравнений:
Решаем систему по формулам Крамера.
Таким образом, линейная зависимость имеет вид:
Задача 5. Дана выборка Х , полученная при обследовании 1000 рабочих цеха, из которых было отобрано 100 рабочих; Х – случайная величина, характеризующая выработку в отчетном году в процентах к предыдущему году.
Определить предельную ошибку выборки с вероятностью 0,954.
|
97 |
103 |
109 |
115 |
121 |
127 |
133 |
139 |
|
3 |
7 |
11 |
20 |
28 |
19 |
10 |
2 |
Установить границы генеральной средней Х.
Построить полигон частот.
Решение.
Найдем среднюю выборки
и дисперсию
.
Для решения построим таблицу, для этого
найдем новые
варианты:
,
(
где С
=121, h
– величина интервала), простые
варианты:
-4,
-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, вместо данных: 97, 103, 109, 115,
121, 127, 133, 139.
|
|
|
|
|
|
|
97 |
-4 |
3 |
-12 |
48 |
-3 |
27 |
103 |
-3 |
7 |
-21 |
63 |
-2 |
28 |
109 |
-2 |
11 |
-22 |
44 |
-1 |
11 |
115 |
-1 |
20 |
-20 |
20 |
0 |
0 |
121 |
0 |
28 |
0 |
0 |
1 |
28 |
127 |
1 |
19 |
19 |
19 |
2 |
76 |
133 |
2 |
10 |
20 |
40 |
3 |
90 |
139 |
3 |
2 |
6 |
18 |
4 |
32 |
|
- |
100 |
-30 |
252 |
- |
292 |
Последний столбец – контрольный. Если таблица составлена верно, то
В данном случае:
,
т.е. расчеты произведены верно.
Теперь по формуле
.
Среднее квадратическое
отклонение выборочной средней
.
При заданной
доверительной вероятности
,
предельная ошибка выборки равна
-
кратной величине средней квадратической
ошибки, где
,
т.е.
(находим по таблице приложений при
данной доверительной вероятности
).
,
- предельная ошибка выборки,
.
2. Теперь искомый доверительный интервал генеральной средней найдем:
,
т.е.
или
Итак, граница генеральной средней выработки с надежностью 0,954 заключены в пределах от 117,33 до 121,07 %.