Элементы комбинаторики и теории графов

На практике часто приходится выбирать из некоторого множества объектов (элементов множества) некоторые подмножества объектов, обладающие теми или иными свойствами, а также располагать объекты одного или нескольких подмножеств в определенном порядке.

Если комбинаторская задача имеет несколько решений, то встает вопрос о подсчете числа решений комбинаторских задач и их описании.

Для этого существуют различные формулы, основанные на двух простых правилах произведения и суммы.

Правило произведения. Если элемент , можно выбирать к₁ способами, элемент можно выбирать к₂ способами и т.д., и элемент можно выбирать к_m способами, то набор элементов можно выбирать к₁ . к₂ … . к_m способами.

Обычно такие наборы элементов, являющиеся элементами декартового произведения множеств , называются кортежем длины m; если , то набор называют также кортежем длины m множества Х.

Правило суммы. Если множества попарно не имеют общих элементов, то число элементов в их объединении равно сумме чисел элементов в каждом из множеств.

Размещения с повторениями. Кортежи длины к, составленные и m – элементов множества Х называются размещениями с повторениями из m элементов по к и обозначаются символом , где знак черты говорит о размещении с повторениями.

Согласно правилу произведения справедлива формула - число размещений с повторениями из m элементов по к.

Размещение без повторений. Иногда бывает так, что возможности выбора второй компоненты кортежа зависит от выбора первой компоненты. В этом случае имеем дело с обобщенным правилом произведения: для выбора кортежа длины n при условии, что первая компонента выбирается способами, вторая - способами и т.д., n –я компонента выбирается способами, существует способов выбора.

Во многих случаях необходимо определить число кортежей длины к из элементов длины m – элементного множества Х без повторяющихся элементов. Также упорядоченные к- элементные подмножества данного множества из m элементов по к называются размещениями без повторений из m элементов по к и обозначаются

.

Пример. Сколькими способами из 30 учащихся можно выбрать тройку актива.

Решение. Речь идет о выборе упорядоченных подмножеств данного множества, т.е. о размещении без повторений из 30 элементов по 3, и поэтому имеем:

способов выбора.

Перестановки без повторений. Пусть множество Х содержит m элементов. Рассмотрим его различные упорядоченные множества, отличающиеся друг от друга лишь порядком входящих в них элементов и называются перестановками без повторений из m элементов; обозначается число перестановок без повторений , определяется:

Пример. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составить пятизначные числа, не кратные 5 и несодержащие одинаковые цифры. Найти их число.

Решение. Из пяти различных элементов – цифр 1, 2, 3, 4, 5 можно составить пятизначных чисел. Но эти числа не должны быть кратны 5 и если эту цифру 5 записать на последнем месте, то остальные цифры могут распределиться по разрядам способа.

Следовательно, всем условиям задачи удовлетворяют 120 – 24 = 96 чисел.

Сочетания без повторений. Видоизменим одну из задач: скольки способами из 30 специалистов можно выбрать тройку человек.

Решение. Число размещений из 30 элементов по 3 без повторений равно . Но один и тот же состав участников выбора будет получаться различными способами, например, размещение (А, Б, В) и (Б, В, А) дают один и тот же состав тройки. Так как трех человек можно переставить - способами, то число различных составов в раз меньше числа размещений, т.е. будет равно в этой задаче .

Обобщая полученный результат, имеем формулу для вычисления числа сочетаний без повторений из m элементов по k:

.

Пример. Сколькими способами можно составить набор из 8 объектов (элементов), если имеется 4 вида объектов.

Решение. Порядок объектов роли не играет и каждый набор задается кортежем длины 8 из 4 элементов, причем порядок компонент роли не играет. Поэтому нужно найти сочетания с повторениями из 4 элементов по 8:

.