Розв’язання

Дано: l = 1 м mстр = 3m1 d = 0,5 l mобр = m1

Т ?

Період коливань фізичного маятника визначають за формулою

,

д

е g – прискорення вільного падіння, L – зведена довжина маятника.

,

m – маса маятника, l_с – відстань від центра мас до осі коливань, I – момент інерції маятника відносно цієї осі. Вісь коливань на рисунку проходить через т. О перпендикулярно до площини рисунка. Тепер

. (1)

Момент інерції маятника рівний сумі моментів інерції стрижня І₁ та обруча І₂:

. (2)

Момент інерції стрижня відносно осі, що проходить через його центр мас перпендикулярно до самого стрижня, визначається за формулою , тому

.

Момент інерції обруча знайдемо з використанням теореми Штейнера , де: І – момент інерції відносно довільної осі, І₀ – момент інерції відносно осі, що проходить через центр мас (в даному випадку обруча) паралельно до заданої осі; а – відстань між цими осями (див. рис.). Одержуємо для обруча

.

Підставляючи вирази І₁ та І₂ у формулу (2), знайдемо

.

Відстань l_с розраховуємо, виходячи з означення центра мас системи матеріальних точок (м.т.), точніше, з формули для обчислення координати центра мас

, і – номер м.т.

( зручно вибрати в т. О, а саму вісь Ох направити до центра мас обруча; при цьому ). Маємо

.

Підставляючи у формулу (1) вирази І, l_с та масу маятника (4m₁), знайдемо період його коливань:

.

Числовий розрахунок:

.

Відповідь: 2,2 с.

Приклад 5. Амплітуда згасаючих коливань за час t₁ = 20 с зменшилася у два рази. У скільки разів вона зменшиться за час t₂ = 1 хв?

Розв’язання

Дано: t1 = 20 с t2 = 1 хв

Залежність амплітуди згасаючих коливань від часу визначається співвідношенням

,

де при ,  – коефіцієнт згасання. Запишемо згадане співвідношення для моментів часу t₁ і t₂:

Перепишемо цю систему рівнянь у формі

Очевидно, що , тому відразу дістанемо робочу формулу

.

Виконаємо числовий розрахунок:

;

.

Відповідь: у вісім разів.

Приклад 6. Знайти жорсткість пружини ресори вагона, вага якого з вантажем Р = 510⁵ Н, якщо при швидкості, модуль якої v = 12 м/с, вагон сильно розгойдується внаслідок поштовхів на стиках рейок. Довжина рейки l = 12,8 м. Вагон має 4 ресори.

Розв’язання

Дано: Р = 5105 Н v = 12 м/с l = 12,8 м n = 4

k ?

Значне розгойдування вагона виникає тоді, коли період власних коливань вагона з вантажем співпадає з періодом сили, котра викликає його вимушені коливання.

Період дії змушувальної сили знайдемо, розділивши довжину рейки на модуль швидкості вагона, тобто

.

Період власних коливань вагона з вантажем (пружинного маятника) визначається за формулою

,

m – маса системи, – жорсткість системи з паралельно з’єднаних однакових пружин. Врахуємо, що потенціальна енергія такої системи стиснених пружин рівна n енергій однієї пружини, адже зміщення х у всіх пружин одне:

.

Тому . Разом з тим, , g – прискорення вільного падіння.

Прирівняємо праві частини двох формул для розрахунку періоду

.

Звідси

.

Числовий розрахунок:

.

Відповідь: 0,41 МН/м.

Приклад 7. Плоска хвиля поширюється вздовж прямої зі швидкістю, модуль якої v = 20 м/с. Дві точки, що розміщені на цій прямій на відстанях х₁ = 12 м та х₂ = 15 м від джерела хвилі, коливаються з різницею фаз . Знайти довжину хвилі , написати рівняння хвилі і знайти зміщення вказаних точок в момент часу , якщо амплітуда коливань А = 0,1 м та початкова фаза хвилі .