1. Символы узлов

Если один из узлов решетки выбрать за начало координат, то любой другой узел определится радиус – вектором, R=ma+nb+pc , где a, b, c – трансляции. Совокупность чисел m, n, p записанная в двойных квадратных скобках [[mnp]], называется символом узла. Узлы, лежащие на одной прямой имеют пропорцио-нальные символы (при необходимости знак минус ставится над числом сверху).

Символы плоскостей. Положение плоскости в пространстве однозначно определяется отрезками, отсекаемыми ею на координатных осях. За единицу измерения вдоль каждой кристаллографической оси принимают период решетки вдоль этой оси, т.е. длину ребра элементарной ячейки (ЭЯ). Величины, обратные отрезкам, отсека-емым плоскостью на осях, приведенные к целым числам, наз-т индексами Миллера: индексы Миллера, заключен-ные в круглые скобки, явл-ся кристаллографическим символом плоскости (hkl).

Для нахождения индексов плоскости нужно помнить, что начало координат может быть помещено в любой узел пространственной решетки. Поэтому начало координат размещают так, чтобы плоскость отсекала max возможное число отрезков на осях координат. Далее, зная отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат, находят обратные им величины. Если эти величины оказываются дробными, то их приводят к общему знаменателю. В том случае, когда плоскость проходит через начало координат, для определения ее индексов следует перенести начало координат в другую вершину ЭЯ или рассмотреть соседнюю плоскость, || первой. На рис. показано расположение некоторых плоскостей в кубической ЭЯ.

Символы направлений. Ориентация прямой однозначно определяется координатами 2 ее точек. Если выбрать из семейства || прямых ту, что проходит через начало координат, или же перенести параллельно самой себе прямую в начало координат, то направление прямой определится координатами любой ее точки. За единицу измерения по каждой кристаллографической оси выбирают период решетки. Полученные значения координат точки приводят к отношению трех наименьших целых чисел. Эти числа, заключенные в квадратные скобки, являются индексами данного направления и всего семейства параллельных направлений [uvw]. Например, кристаллографические оси имеют индексы [100], [010] и [001].

Семейство направлений (направления, связанные элементами симметрии) записывают в угловых скобках: <mnp> или <uvw >. Например, для куба символ <100> обозначает прямые [100], [010], [001], [100], [010], [001], то есть прямые, индексы которых отличаются либо перестановкой, либо знаком. Знак «минус» ставится в случае, когда прямая пересекает кристаллографическую ось в отрицательном направлении. В кубической решетке индексы направления, ⊥ плоскости (hkl), всегда точно такие же, как и у плоскости, [hkl].

4.Решетки Бравэ

Исходя из идеи о периодическом расположении центров тяжести сферических материальных частиц в кристаллическом веществе, Огюст Бравэ в 1848 году показал, что все многообразие кристаллических структур можно описать с помощью 14 типов решеток (решеток Бравэ), отличающихся по форме элементарных ячеек и по симметрии. На таблицах (табл.4) изображают обычно только ЭЯ Бравэ, пространственная решетка получится при многократном повторении ЭЯ в трех измерениях. Ячейки Бравэ также наз-т трансляционными ячейками или трансляционными группами. Каждую ячейку Бравэ следует понимать, как один из (14 возможных) законов расположения атомов в кристаллической решетке. Для выбора ячейки Бравэ используют следующие условия:

1. Симметрия выбранной ЭЯ должна соответствовать симметрии решетки, вместе с тем ребра элементарного параллелепипеда должны быть трансляциями.

2. Число равных ребер и равных углов между ребрами ЭЯ должно быть наибольшим.

3. При наличии прямых углов между ребрами ЭЯ, их число должно быть mах.

4. При соблюдении этих трех условий объем ЭЯ должен быть min.

14 ячеек Бравэ делятся на 4 типа:

1.Примитивные («Р») – узлы имеются только по вершинам ячейки. Если выбрать один из узлов за начало координат, то все остальные можно получить, повторяя этот атом в пространстве периодически с помощью трех

трансляций а, b, с.

2.Объемноцентрированные («I») – кроме узлов в вершинах ячейки, которые получаются с помощью трансляций а, в, с имеют узел в центре ячейки, который связан с началом координат трансляцией: (а + b + с) : 2. 47

3. Гранецентрирование («F») – кроме узлов в вершинах ячейки, то есть трансляций а, в, с, имеют узлы в центрах каждой грани, их характеризуют трансляции: (а + b) : 2; (b + с) : 2; (а + с) : 2.

4.Базоцентрированные («А», «B», «С»). Узлы располагаются в центрах двух противоположных граней. У решетки «А» центрирована грань, перпендикулярная оси х ; (набор трансляций а, b, с, (b + с) : 2), у решетки В центрирована грань, перпендикулярная оси y, ей соответствует набор трансляций а, b, с, (а + с) : 2, у решетки С центрирована грань, перпендикулярная оси z, набор трансляций а, b, с, (а + b) : 2. эту решетку используют чаще.

Базисом кристаллической решетки называется совокупность значений координат всех атомов, входящих в элементарную ячейку. Координаты выражаются в долях элементарных трансляций (параметров решетки), а начало координат выбирается в вершинах элементарных ячеек.

5. Упругие волны в кубических кристаллах.

Волны в направ-и [100]. Уравнение продольной волны: (1), где u–х-компонента смещения частицы. Волновой вектор частицы направлен вдоль ребра куба, совпадающего по направлению с осью х. – волновой вектор и – угловая частота.

Подставляя (1) в уравнение движения для смещения в направлении оси х:

, где u, v, ω – величины, обозначающие локальные величины; С₁₁, С₄₄ – постоянные упругой жесткости (или модуль упругости)

мы получим: ; Следовательно, скорость распростр-я волны в направлении [100] равна

Для поперечной волны (смещение частицы v происходит в направ-и оси у):

,

Волны в направ-и [110]. Волна распространяется в направлении диагонали грани куба. Для продольной волны u=v. Т.о., смещение частицы происходит вдоль направления [110] параллельно вектору К. Для поперечной волны u=-v–направл-е смещения частицы совпадает [110] и перпендик-но к вектору К.

P/S C₁₁=C₂₂=C₃₃; C₄₄=C₅₅=C₆₆; C₁₂=C₁₃=C₂₃