Анализ переходных процессов в нелинейных схемах.

Нелинейная схема содержит хотя бы один нелинейный элемент.

При анализе переходных процессов в нелинейных схемах нельзя использовать принцип наложения, который предоставляет возможность рассчитывать процессы в виде суперпозиции сигналов от разных источников. Таким образом, становится невозможным рассчитывать переходные процессы с помощью интегралов Дюамеля, наложения, классическим и операторным методом анализа переходных процессов.

При расчете переходных процессов удается воспользоваться лишь законами Кирхгофа, при этом вольтамперные характеристики нелинейных элементов могут быть заданы либо в графической, либо в табличной форме, или описаны аналитическим выражением. При этом предполагается, что нелинейный элемент является безынерционным, или его можно представить безинерционным нелинейным звеном совместно с инерционной линейной частью.

Методы анализа переходных процессов в нелинейных схемах классифицируются:

– по способу решения нелинейных дифференциальных уравнений на графоаналитические и численные;

– по характеру величины, для которой производится расчет – на методы для мгновенных значений, методы для огибающих первых гармоник, методы для медленно меняющихся амплитуд.

Дифференциальные уравнения для нелинейных схем составляются по законам Кирхгофа. Представляется удобным составлять дифференциальные уравнения для каждого реактивного элемента – индуктивности или емкости в следующем виде:

; ,

если они линейны, и в виде:

; ,

если последние нелинейны.

При этом система дифференциальных уравнений для схемы n-ого порядка преобразуется к виду:

,

где в левой части вынесены производные функций, а в правой – выражения для функций через параметры схемы, частично нелинейные, и сами функции, т.е. токи и напряжения.

Нахождение переходного процесса есть решение задачи Коши, которая формулируется следующим образом: требуется найти решение системы n дифференциальных уравнений первого порядка на заданном интервале времени (t₀...t_k), если известны значения всех переменных в одной точке, как правило, это точка — начало интервала интегрирования. Значения функций в начале интервала определяются, как несложно догадаться, из независимых начальных условий.

Основные виды нелинейностей, характерных для электронной техники, были рассмотрены в разделе 1 настоящего конспекта, касающегося моделей компонентов электронных схем. Численные методы решения систем линейных и нелинейных дифференциальных уравнений рассматривались в соответствующем разделе курса математическое моделирование. Графоаналитические методы при современном уровне развития пакетов программ схемотехнического анализа не являются актуальными.

Нас будут интересовать лишь методы, позволяющие в той или иной степени облегчить решение системы нелинейных дифференциальных уравнений, а именно:

• либо упростить алгоритм решения, сведя задачу на каждом шаге к анализу по постоянному току, что позволяет использовать ранее рассмотренный математический аппарат матричных методов;

• либо пренебречь при анализе быстрыми процессами (с малыми постоянными времени), происходящими при коммутации ключевых элементов, и выявлять лишь динамику постоянной составляющей интересующей переменной состояния, усредняя значения производных переменных состояния за интервалы проводимости ключевого элемента (при этом неизбежна потеря информации о поведении переменной состояния внутри каждого интервала коммутации). Такой метод (усреднения в пространстве состояний) применяется для анализа схем с периодической коммутацией, значительную часть которых составляют схемы импульсных преобразователей и регуляторов напряжения, являющихся устройствами промышленной электроники. Он позволяет в десятки раз сократить время расчета переходного процесса, ценой потери незначительной для анализа динамики данного класса устройств информации (поведения переменных состояния внутри периода коммутации).