Дискретное преобразование Фурье

В ряде современных задач электроники возникает необходимость восстановить функцию по её дискретным отсчетам. Это диктуется прежде всего задачами цифровой обработки информации. Предположим имеется непрерывная функция времени f₁(t), которую с помощью технических устройств можно измерять лишь в дискретные моменты времени. Это обеспечивается измерительным устройством типа АЦП (рис. 3.20).

Таким образом на выходе системы мы имеем таблицу отсчетов:

i	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
F(ti)	0	3	5	6	3	4	3	0	-3	-5	-6	-3	-4	-3

Н еобходимо найти коэффициенты разложения в ряд Фурье непрерывной функции f(t), заданной серией дискретных отсчетов на протяжении её периода.

Разложение в ряд Фурье необходимо для использования заново полученной непрерывной функции в дальнейшей обработке (например для вывода ее на печатающее устройство, цифровой фильтрации, фильтрации высокочастотных шумов и других преобразований, осуществляемых в частотной области).

С разу же необходимо отметить, что при этом неизбежно происходит потеря информации о поведении функции между отсчетами! Поэтому разложение можно использовать лишь в случаях, когда Вы уверены в том, что частота дискретизации достаточна для улавливания всех скоростных процессов в изменении функции (см. Теорему Котельникова-Найквиста в курсе ЭПУ).

Простейшим подходом к разложению в этом случае является замена функции f(t) eё ступенчатой аппроксимацией (см. рис. 3.21).

Как известно, коэффициенты разложения определяются по формулам:

.

Будем вычислять функцию f(x), а также sin(kw₁x) и cos(kw₁x) в подынтегральном выражении, через их дискретные отсчеты в моменты времени t_i — f(t_i) (т.е. используем ступенчатые аппроксимации для обеих функций в подынтегральном выражении). Пусть на периоде Т имеется N+1 отсчетов непрерывной функции. Тогда t=T/N; i=0...(N-1); t₀=0; t_i=ti. Тогда после несложных преобразований формулы для коэффициентов B_k, C_k приобретают вид:

Е стественно, что ступенчатая аппроксимация имеет большую погрешность, поэтому для коэффициентов ряда Фурье погрешность возрастает. Более точным является случай, когда на каждом интервале t осуществляется аналитическое интегрирование функций cos(kw₁x) и sin(kw₁x), а ступенчатая аппроксимация функции сдвигается на полшага по оси времени (рис. 3.22), тем самым более точно аппроксимируя функцию. При этом коэффициенты разложения вычисляются следующим образом:

, аналогично

Для дальнейшего увеличения точности можно заменить f(t) не ступенькой, а кусочно-линейной аппроксимацией.

Таким образом для ДПФ необходимо выполнить пропорциональное N² операций умножения. Если число отсчетов, и, следовательно, гармоник увеличивается, увеличивается пропорционально N² и число операций умножения. Например, если N₁=8, N₂=32, то время расчета возрастает в 16 раз!

Для устранения этого недостатка существует группа методов, получивших название быстрого преобразования Фурье (БПФ).