Временные методы анализа переходных процессов

В ряде электронных схем по принципу действия на цепи воздействуют импульсы напряжения или тока, отличные от нуля лишь в течение некоторого короткого интервала времени. Рассмотрим способы определения переходных процессов в цепях при таких воздействиях.

П усть задан импульс, форма которого изображена на рис. 1. Площадь под кривой, ограничивающей импульс, равна 1:

Предположим теперь, что длительность импульса устремляется к 0, а его площадь остается неизменной и равной 1. Тогда функция (t,t_и) в пределе будет равна всюду, кроме момента времени t=0+ нулю, а в этот момент обращается в бесконечность, сохраняя площадь, равную 1. При этом функцию (t) называют единичной импульсной функцией, или функцией Дирака. Можно себе представить импульсную функцию площадью, отличной от 1 и равной, например, S_и, как S_и(t).

Таким образом, из сказанного следует выполнение условия:

, где функция (t)=0 при t0.

Воздействие -функции на систему называется единичным импульсным воздействием. Если воздействует функция S_и(t), то это импульсное воздействие.

Рассмотрим вначале реакции простейших цепей на импульсное воздействие (рис. 3.13).

, при t>0+

Т.е. энергия, сообщаемая емкости равна:

Аналогично для индуктивности

, при t>0+

Т.е. системе мгновенно сообщается заданная энергия. Таким образом, мощность в цепи бесконечна.

В ряде случаев необходимо знать реакцию системы на такого рода воздействие. Например если t_и (где  — постоянные времени схемы RC, L/R, ), то можно считать, что к системе приложено импульсное воздействие: радиосхемы например.

Реакция цепи на импульсное воздействие - импульсная реакция или импульсная характеристика g(t).

Удобнее всего находить реакцию операторным методом. Для этого найдем изображение (t).

Здесь подынтегральное выражение только в момент времени t=0 отлично от нуля. С другой стороны е^-pt=1 при t=0, следовательно, из геометрического смысла определенного интеграла (p)=1. Если действует S_и(t), то изображение такой функции будет S_и:

Тогда, если передаточная функция системы H(p), то изображение реакции ее на импульсное воздействие F₂(p):

F₂(p) = (p)H(p) = S_иH(p).

В случае единичного импульсного воздействия F₂(p)=1H(p)=H(p). Т. е. импульсная характеристика системы g(t)  H(p). Это очень важное свойство, которое позволяет считать импульсные характеристики систем.

Рассмотрим импульсную реакцию интегрирующей RC-цепи (см. рис. 3.14) при нулевых начальных условиях. Отметим, что импульсную реакцию схемы можно находить а) операторным методом, зная изображение по Лапласу для входного воздействия, и б) с помощью операторной передаточной функции. Результирующие выражения:

Таким образом, u_C(0+)=S_И/RC, сравним с соответствующим выражением для простейшего звена в виде конденсатора (рис. 3.13, а): , т. е. В интегрирующей RC-цепи воздействие типа напряжения преобразуется в ток величиной S_И/R, что вполне понятно из физических соображений.

Интеграл наложения

Из знания импульсной характеристики цепи следует метод расчета переходных процессов в линейных схемах. Если на входе системы действует некоторая функция f₁(t)  F₁(p), то изображение реакции линейной системы F₂(p): F₂(p) = H(p)F₁(p). Поскольку H(p)  g(t) и F₂(p)  f₂(t), то воспользовавшись теоремой свертки (оригиналом для произведения 2-х изображений является свертка их оригиналов, т.е. функций g(t) и f₁(t)), несложно получить:

В теории электрических цепей данные интегралы известны под названием интегралов наложения. По любой из этих формул зная импульсную характеристику цепи g(t) и воздействие f₁(t) можно вычислять реакцию линейной электрической цепи, если начальные условия нулевые.

Таким образом можно рассчитать переходные процессы, если проинтегрировать интеграл свертки.